复习第三讲求解导热问题的有限差分法.pptVIP

铸造过程计算机模拟讲义 冒国兵 第一节 差分格式 一 . 概述 第一节 差分格式 ① 将物体或计算所涉及的区域进行离散化。 第一节 差分格式 ③ 将初始条件与边界条件亦以相应的差分形式来表示，并与内节点一起组成完整的差分格式。方程与节点数恰好对应。 第一节 差分格式 第一节 差分格式 （2）不同差分格式的讨论 第一节 差分格式 第一节 差分格式 二. 显式差分格式 第一节 差分格式 二. 显式差分格式 第一节 差分格式 注意边界节点在初始时刻的温度值应由边界条件来提供。 第一节 差分格式 将④，⑤，⑥式联立，得完整差分格式： ⑦式 第一节 差分格式 求解⑦式步骤： 第一节 差分格式 第一节 差分格式 第一节 差分格式 第一节 差分格式 第一节 差分格式 第一节 差分格式 第一节 差分格式 第一节 差分格式 第一节 差分格式 第一节 差分格式 第一节 差分格式 第一节 差分格式 第一节 差分格式 第二节 直接差分法 第二节 直接差分法 第二节 直接差分法 第二节 直接差分法 第二节 直接差分法 第二节 直接差分法 第二节 直接差分法 第二节 直接差分法 第二节 直接差分法 第二节 直接差分法 第二节 直接差分法 前述差分格式的建立以差分代替微分为基础，直接差分法（DFDM）则是将传热的基本定律应用于经网格割分后的单元体，通过能量平衡直接得到可供计算机进行计算的差分方程。又称能量平衡法（或单元热平衡法）。 该法优点： ① 它不涉及偏微分方程等较为复杂的数学概念及其处理，物理意义清晰； ③ 根据不同单元的热物性值即可处理不同材料组成的系统问题。 ② 它能灵活的处理复杂的几何形状，在网格剖分中可以根据需要分成三角形，四边形或多边网格（三维条件下则是四、六面体单元）。 条件①： 单元的各顶点共圆， 圆心就是单元节点，而单元本身即为节点领域。（如图2－1所示） 目的是保证任何节点与相邻单元节点的连线均与单元的边相垂直，否则会造成热流方向不与单元边界垂直而产生较大的误差。 （一） 内节点法 1. 划分单元，确定节点（需满足的条件） 图2－1 内节点法网格剖分示意图 条件②： 各单元的节点此时即为单元体的外心，它应尽量在单元重心附近，目的在于以节点温度代替单元温度时造成的误差最小。 据此，应避免钝三角形（外心位于单元之外）和小角度三角形（因为三角形三条边比例相差大，误差较大。） 2. 建立热平衡法差分方程 讨论i单元（即i节点领域）的热平衡。 （如图2－2所示） 图2－2 内节点法中单元热平衡的计算 ① 在tn到tn+1时刻内，由相邻单元j（j＝1，2，…，m， 在此m＝5）向单元i传入的热量为： ② 在同一时刻内单元i的内能增量即由于热量传入而导致其温度变化为： ∴ 据能量守恒可得，内节点法的差分计算格式为： 这时的稳定性条件为： （二） 外节点法 外节点法中的单元、节点及节点领域。 ① 外节点法中单元剖分条件与内节点法相同。 ② 外节点法剖分单元的顶点为节点，由各单元各边的垂直平分线构的新领域为节点领域。 （如图2－3所示） 以节点i为例，讨论其节点领域内的热平衡。 （如图2－4所示） ① 在tn到tn+1时间内，由周围各节点j（j＝1，2，…，m，在此m＝7）向节点i传入的热量为： 图2－3 外节点法中网格剖分示意图 * * 复习-求解导热问题的有限差分法 内容 1、差分格式 2、直接差分法 （1）显式差分格式 （2）完整隐式差分格式 （3）六点差分格式 （1）内节点法 （2）外节点法 差分格式 实际导热问题必然涉及边值条件，在有限差分法中它们也必须差分化。 因此，我们需要研究的不仅是差分方程本身，而且是包括全部内部区域和所有边界上的差分方程所组成的代数方程组。又称为差分格式。 2. 非稳态导热方程的完整的差分格式（步骤） 区域离散化的具体处理方法： 有两种，一种是将求解区域划上网格线，如图1－1所示。网格线的交点即为节点。 另一种是将区域划分成若干单元，以单元体内的一点作为节点，如图1－1c所示。 无论何种方法，单元与节点总是一一对应的。将图1－1b与图1－1c重叠在一起（见图1－1d），一般称落在区域内的节点为内节点，在边界上的节点为边界节点。 图1-1 区域离散化 ④ 选用适当的数值计算方法求解线性代数方程组，将求解过程编制成计算机程序，上机运行得到温度场。 ② 在所有内节点（内单元）