连续函数的性质1.docVIP

§2连续函数的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性. 2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨论函数的连续性. 3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题. 4.理解函数一致连续性的概念. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 闭区间上连续函数的性质. 难点:. 闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 一 连续函数的局部性质 若函数在点连续，则在点有极限，且极限值等于函数值.从而，根据函数极限的性质能推断出函数在的性态． 定理4．2(局部有界性) 若函数在点连续，则在某内有界． 定理4．3(局部保号性) 若函数在点连续，且 (或)，则对任何正数 (或)，存在某，使得对一切有 ，）. 注 在具体应用局部保号性时，常取则（当时）存在某使在其内有. 定理4．4(四则运算) 若函数和在点连续，则(这里)也都在点连续． 以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得． 对常量函数和函数反复应用定理4．4，能推出多项式函数 和有理函数（为多项式)在其定义域的每一点都是连续的． 同样，由和在上的连续性，可推出与在其定义域的每一点都连续． 关于复合函数的连续性，有如下定理： 定理4.5 若函数在点连续，在点连续，,则复合函数在点连续． 证 由于在连续，对任给的，存在，使得当时有 ． 又由及在点连续，故对上述，存在，使得当时有．联系(1)得：对任给的，存在，当时,有． 所以 在点连续． 注 根据连续性的定义，上述定理的结论可表为 ． 例1 求． 解 可看作函数与的复合．由(2)式得 ． 注 若复合函数的内函数当时极限为，而或在无定义(即为的可去间断点)，又外函数在连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有 还可证明：式不仅对于这种类型的极限成立，而且对于，或等类型的极限也是成立的． 例2 求极限： ；. 解 ； . 二 闭区间上连续函数的基本性质 设为闭区间上的连续函数，本段中我们讨论在上的整体性质. 定义1 设为定义在数集上的函数．若存在，使得对一切有 ， 则称在上有最大(最小)值，并称为在上的最大(最小)值． 例如，在上有最大值1，最小值．但一般而言，函数在其定义域上不一定有最大值或最小值(即使在上有界)．如在上既无最大值也无最小值．又如 它在闭区间上也无最大、最小值．下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件． 定理4．6 (最大、最小值定理) 若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值． 推论 (有界性定理) 若函数在闭区间上连续，则在上有界． 由式给出的函数在闭区间上无界，什么对函数上述推论的结论不成立． 定理4．7 (介值性定理) 设函数在闭区间上连续，且．若为介于与之间的任何实数或)，则至少存在一点，使得 这个定理表明，若在上连续，又不妨设，则在上必能取得区间中的一切值，即有，其几何意义如图4—2所示． 推论(根的存在定理) 若函数在闭区间上连续，且与异号(即)，则至少存在一点，使得，即方程在内至少有一个根． 这个推论的几何解释如图4—3所示：若点与分别在轴的两侧，则连接、的连续曲线与轴至少有一个交点． 应用介值性定理，我们还容易推得连续函数的下述性质：若在区间上连续且不是常量函数，则值域也是一个区间；特别，若为闭区间，在上的最大值为，最小值为，则；又若为上的增(减)连续函数且不为常数，则. 下面举例说明介值性定理的应用． 例3 证明：若，为正整数，则存在唯一正数，使得称为的次正根(即算术根)，记作)． 证 先证存在性．由于当时有，故必存在正数，使得．因在上连续，并有，故由介值性定理，至少存在一点，使得． 再证唯一性．设正数使得，则有 ， 由于第二个括号内的数为正，所以只能，即. 例4 设在上连续，满足 ． 证明：存在，使得