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维普资讯 一 — — 2006年 理科第8题 陕西师范大学数学与信息科学学院 罗增儒 2006年全国高考数学陕西卷理科第 8题，是一道 解 法 2：仿 解 法 l，条 件 变 彤 后 ，应 用 三 维平 均 值 不等式恒成立的参数确定问题，找出选项B似乎并不 不等式消去X、Y，有 困难 ，但解题依据却未必都能说清楚 (常与不等式的 (z (去+) 传递性混淆)，甚至还会出现 “会而不对、对而不全”等 逻辑漏洞．我们对这道题 目的分析，重在解难释疑和 一 1+口+ + 论证的严谨性上．先给出题 目： X Y 例1 已知不等式(z+ )f、X+V1，≥9对任意的 ≥1+3√Yz’aX 正实数 X、Y恒成立 ，则正实数 n的最小值为 ( )． 一 1+3 ， A．2 B．4 C．6 D．8 于是 ，只要 1+3 9甘。≥ ，得 。的最小 说明：若设 一￡甘 —tx，tO，则 已知不等式展 值为 ，选择支无一为所求． 开后 ，问题可以转化为 解法 3：仿解法 1，条件变形后，应用 四维平均值 例 2 已知不等式n+￡+ ≥8对任意的正实数 不等式消去X、Y，有 t恒成立，求正实数 n的最小值． (z+)({+) 下面我们首先呈现多种解法，然后分析多种答案 的成因，最后给出完整解法． 一 1+口+ + X Y 1 多种解法的呈现 下面的解法都有三个共同的步骤 ： ≥4√卜 詈’等 (1)消去X、Y，得出关于n的不等式； 一4√， (2)解不等式，得出n的范围； 于是，只要4≥9甘n≥器，得n的最小值为而81 (3)求出n的最小值． 但众多解法得出了不同的结果，它们推理的有效 — 5而1·选择支无一为所求 · 性和论证的可靠性值得仔细推敲． 解法 4：仿解法 1，分别应用二维平均值不等式于 1．1第1类解法：对(z+y)(去+号)缩小，消去z、Y 两个括号，消去X、Y，有 解法 1：条件变形后，应用二维平均值不等式消去 X、Y，有 (z+)(+ )≥2 ·2 一4 ， (z+)(1十了a) 、 ① 于是，只要4≥9甘n≥器，得n的最小值为81 — 5 1 一 1+ 口+ + · 选择支无一为所求 · X Y ≥1+口+2 · 1．2 第2类解法：对(x+y)f＼X+V1，≥9变形，消去 Vx Y z、Y 一 (1+ )。， ② 于是 ，只要 (1+ )。≥9甘口≥4，得 口的最小值为 解法5：由(z+