;67 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间.pptVIP

§6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 我们在上学期对线性方程组有一定了解，也会求矩阵的秩． 本节要应用向量空间的理论，回头研究线性方程组解的结构． 先考察矩阵的秩的几何意义． §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 先给出数域F上的一个m?n矩阵： §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 由 ?1, ?2, .., ?m 作成的F的子空间L(?1, ?2, .., ?m)称为矩阵A的行空间． 类似地，由A的个列向量所成的F子空间称为A的列空间． 当 m ? n 时，矩阵A的行空间和列空间是不同的向量空间的子空间． 但是(即将看到)这两个子空间的维数却是相同的． 为此，先证明下面的引理： §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 引理6.7.1 设A是一个m?n矩阵． (i) 如果 B = PA，P是一个阶可逆矩阵，那么B与A有相同的行空间； (ii) 如果 C = AQ，Q是一个阶可逆矩阵，那么C与A有相同的列空间． 证 只证明(i)， (ii)的证明完全类似． 设 A = (aij)mn，P = (pij)mm，B = (bij)mn，令{?1, ?2, .., ?m} 是A的行向量，{?1, ?2, .., ?m }是B的行向量．B的第行等于P的第行右乘以矩阵A： ?i = (bi1, bi2, ..., bin) = (pi1, pi2, ..., pin)A = pi1?1 + pi2?2 + ... + pin?n， §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 所以B的每一个行向量都是A的行向量的线性组合． 但P可逆，所以 A = PB． 因此A的每一个行向量都是B的行向量的线性组合．从而， 向量组{?1, ?2, .., ?m}与{?1, ?2, .., ?m }等价，所以它们生成F的同一子空间． ? §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 (我们知道) 对于 ? 一个m?n矩阵A， 总 ? m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得： §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 由于Q?1可逆，所以它的行向量线性无关因而它的前r行也线性无关．于是PA的行空间的维数等于r． 由引理6.7.1，A的行空间的维数等于r ． 另一方面，将等式(1)左乘以P ?1得 §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 定理6.7.2 一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数，等于这个矩阵的秩． ? 由此定理，也可把一个矩阵的秩定义为其 行向量组的极大无关组所含向量个数或 列向量组的极大无关组所含向量个数． §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 利用上面的结论，重新考察线性方程组 §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 如果(2)有解，那么?可以由 ?1, ?2, ..., ?n 线性表示，因而 L(?1, ?2, ..., ?n) = L(?1, ?2, ..., ?n, ?)， 即，(2) 的系数矩阵A的列空间等于增广矩阵?A 的列空间，因而秩A = 秩?A ． 反之，若A = 秩?A ，则?A 的列空间与A的列空间重合，即??L(?1, ?2, ..., ?n)，因而?可以由?1, ?2, ..., ?n线性表示，所以方程组(2)有解． §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 这样就重新得到线性方程组有解的判别法： 数域 F 上的线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同． §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 最后，我们看一下线性方程组的解的结构．设 §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 (3) 的每一个解都可以看作F的一个向量，叫做方程组(3)的一个解向量． §6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 是(