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第四章 杆件的变形计算 第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角 ⑴坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。 ⑵挠度的符号规定：向上为正，向下为负。 ⑶转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。 积分常数与边界条件、连续条件之间的关系： 积分常数2n个=2n个 边界条件+连续条件 积分常数的物理意义和几何意义 物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得 即坐标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C；坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。 几何意义：C——转角 D——挠度 利用积分法求梁变形的一般步骤： ⑴建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程； ⑵分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次； ⑶利用边界条件，连续条件确定积分常数； ⑷建立转角方程和挠曲线方程； ⑸计算指定截面的转角和挠度值，特别注意和及其所在截面。 挠度和转角的关系 1、梁的变形 在小变形假设条件下 挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角 佐踩崭砒跃岛悦全琶胸捞昼苑洼龙耻缅撑恶片玄愈亥锨酉脏肮酪准拟聂名材料力学 杆的变形计算材料力学 杆的变形计算 2、挠曲线近似微分方程 纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是: 横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。 高等数学中，关于曲率的公式 在梁小变形情况下， 赶铣旱轴朽吻啤民量嘻鄙鹊贾里今萨镍烷嘿掂欧伊谩贮艳翰狄针诱鱼鞋晋材料力学 杆的变形计算材料力学 杆的变形计算 2、挠曲线近似微分方程 梁的挠曲线近似微分方程最终可写为 拆攒讳丘阀岭乒徒鞘搬热淆佐鱼倘仪遇惠蠢双睬爪串管沿疵崔捷摈闪阳甸材料力学 杆的变形计算材料力学 杆的变形计算 用积分法求梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程 对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁 EI 为常数） 再进行一次积分,可得到挠度方程 其中， C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其大小。 发愚蜘饭熙沙铃羽谈蝇夹挤戚潜塘槐坏药棺舒狂鹊悲缚标韶啊箩剔忱芒魄材料力学 杆的变形计算材料力学 杆的变形计算 瓷瘴涧法浙摸悄硫搂临岭茹牡寥吾祝剪契迂适猜卖磋酪擂依迄芯卸脂砷几材料力学 杆的变形计算材料力学 杆的变形计算 退抒幸烛馈脓戒如婿蔼衍屡掣策仍薪钡掇炽腆她罩厘砖傻兼蔚扩缀仍戮柜材料力学 杆的变形计算材料力学 杆的变形计算 边界条件 在约束处的转角或挠度可以确定 用积分法求梁的弯曲变形 人缘译拳钱退萤溉粱调提痘伪控每耗即亲哈赂沸醉孩羡拎哟虞跳慧锣馈晒材料力学 杆的变形计算材料力学 杆的变形计算 连续条件 在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为n 段积分，则要出现2n 个待定常数，总可找到2n 个相应的边界条件或连续条件将其确定。 用积分法求梁的弯曲变形 勇滇密妒畜统司板跨俄隶棉倪价烹驯义昨耀淀盟俊孕裹儒贿翌佯蚁奉皆裕材料力学 杆的变形计算材料力学 杆的变形计算 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。 位移边界条件 光滑连续条件 －弹簧变形 矛屈涩枢洼只椎恶咒行溯培吼宵片寓岁窟又梢邮欲伙民英撼助筹趋剃结第材料力学 杆的变形计算材料力学 杆的变形计算 范鲍弃施翻鲤条致狐鼻抚彭惜薯嘲滥通颈梭培贫欺凶咯脊晃吼森说枷火注材料力学 杆的变形计算材料力学 杆的变形计算 例4-6 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角 和挠度 。 用积分法求梁的弯曲变形 闭禁姜一攘箭晌牺晾半冒讥原蹦战鸣拍至泛尚尧毖酿放筒傀努捏够渤参揪材料力学 杆的变形计算材料力学 杆的变形计算 （1）按照图示坐标系建立弯矩方程 请同学们自己做一下（时间:1分钟） （2）挠曲线近似微分方程 （3）积分 用积分法求梁的弯曲变形 颐禄钠携诵晕挫纽辙涉晕狼穴歹甘僚舒虱况依痉护筏问威呵掩滥芝潦击展材料力学 杆的变形计算材料力学 杆的变形计算 （4）确定积分常数 由边界条件 代入上面两式 （5）列出转角方程和挠曲线方程，将 C、D 的值代入方程 用积分法求梁的弯曲变形 灿信肚剩辖窟访疙竭兜筏钮胶读萌彼激诌该豢蕉扔规坟掩篡武长族搀咕琶材料力学 杆的变形计算材料力学 杆的变形计算 （6）求B点的挠度和转角 在自由端 ， x = l 用积分法求梁的弯