数形互化在解答高考试题中妙用.docVIP

数形互化在解答高考试题中妙用 　　大家知道，数学是关于现实世界数量关系和空间形式的一门科学.数学大师华罗庚曾说过：“数形结合百般好，数形分离万事难.”可见，数形结合是解答高考数学试题时极其重要的思想方法，由形思数以精确，由数想形以直观.画图、识图是解答高考数学试题的有效途径. 一、读图、识图，由图思数 1.应用型试题. 高考真题联系生活、生产实际的设计热点，一般在线性规划、概率与统计等知识点处考查；有时也可能出现需要应用函数、三角、数列、几何模型的简单应用性考题.呈现图形，由图形关系联系对应的数量关系，实现考题的解答通道. 例1 （2016年全国Ⅲ卷）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图1中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是（ ）. 图1（A）各月的平均最低气温都在0 ℃以上 （B）七月的平均?夭畋纫辉碌钠骄?温差大 （C）三月和十一月的平均最高气温基本相同 （D）平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 解析：由图可知0 ℃均在虚线内，所以各月的平均最低气温都在0 ℃以上，选项A正确；由图可以看出，七月的平均温差大于7.5 ℃，而一月的平均温差小于7.5 ℃，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，选项B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温大约都为10 ℃，基本相同，选项C正确；由图可知平均最高气温高于20 ℃的月份有3个，所以选项D不正确.故选D. 评注：本题考查平均数、统计图等知识，联系生活实际，新颖独特.考查了学生识图、用图的能力，而正确识图可能成为学生的思维“受阻点”.只有学生正确识图，才能走过思维“转化点”，用图解题.正确运用“数形结合”的思想方法也正是此题的“开窍点”，考查数学思想方法和数学能力的运用也正是高考命题的一个新导向！ 2.算法型试题. 用中国数学史料为载体，改编成新颖、独特的高考试题，在近年的考题里常考常新，值得读者关注，从中孕育数学思想方法，传播数学文化，给人以美的感觉.让学生通过做题增加知识、丰富见解，也就增加了试题的“创新价值”.由程序框图呈现的考题，需要从图形的流程，翻译、转化出数量关系，从而进行推理、运算求解. 图2例2 （2016年全国Ⅱ卷）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，图2是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）. （A）7 （B）12 （C）17 （D）34 解析：由题意，得x=2，n=2，k=0，s=0，输入a=2，则s=0×2+2=2，k=1（开窍点：循环，推算）；输入a=2，则s=2×2+2=6，k=2；输入a=5，则s=6×2+5=17，k=32，退出循环.所以输出的s=17.故选C. 评注：本题考查程序框图中的直到型循环结构.涉及数学历史史料，算法不清，程序框图就难以理解到位，程序框图看不明白，也就难以实施推理，这正是学生思维的“受阻点”.明确算法，正确推理是这道试题的“转化点”，循环、推算正是程序框图考题的“开窍点”.考查数学文化的考题是近年高考命题的新亮点，如：2015年全国Ⅰ卷第6题出自《九章算术》的立体几何实际应用题.对于立体几何、解析几何、三角函数等试题，要从题目的图形出发，挖掘其中的数量关系，把图形语言转化为符号语言，实施解题过程的有效转化和表达. 3.图象型试题. 函数图象型试题偶然在考卷上出现，由于函数解析式新颖、独特，往往需要解题者的思维敏捷、特殊，感悟解题的开窍点和关键所在. 例3 （2016年全国Ⅰ卷）函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为（ ）. 解析：函数f（x）=2x2-e|x|在[-2，2]上是偶函数，其图象关于y轴对称. 因为f（2）=8-e2，0 　　代数变形，几何直观，逻辑推理，这是学习数学，学解数学高考试题的核心思想. 更进一步，如从x3=x2+1中发现x0，于是，对其两边同时除以x，便有x2=x+1x，这样，可以构造函数y=x2，y=x+1x（x0）.显然，这里的函数是学生熟悉的. 思维还可以延续，从x=1+1x2（x0），1=1x+1x3（x0）出发，构造函数.思维的灵活性、深刻性来源于我们的持续思考. 2.函数综合型试题. 函数、导数、方程、不等式等知识交汇形成的综合型考题，属于高考的压轴题，体现了高考的选拔性.解答这类考题，有时需要对字母分类处理，有时需要构造新的函数，利用导数方法，研究函数的单调性.若能够画出草图，则可借助直观发现解题思维流程. 例5 （20