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第十二章 动 能 定 理 (a) (b) 时 由 其中: 铅直 水平 (c) 由(a), (b), (c) 得 §12-4 功率、功率方程、机械效率 1、功率：单位时间力所作的功. 即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积. 由 ,得 作用在转动刚体上的力的功率为 单位W（瓦特）,1W=1J/S 2、功率方程 功率方程:即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点 系的所有力的功率的代数和. 或 机床 3、机械效率 机械效率 有效功率 多级传动系统 例12-7 求:切削力F的最大值。 已知: 解: 当 时 已知 :m ，l0 ，k ， R ， J。 求:系统的运动微分方程。 例13-8: 解: 令 为弹簧静伸长，即mg=k ,以平衡位置为原点 §12-5 势力场.势能.机械能守恒定律 1.势力场 势力场(保守力场):力的功只与力作用点的始、末位置有关,与路径无关. 力场 :一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用. 势力场中,物体所受的力为有势力. 2.势能 在势力场中,质点从点M运动到任意位置M0,有势力所 作的功为质点在点M相对于M0的势能. （1）重力场中的势能 （2）弹性力场的势能 称势能零点 （1）重力场中的势能 （2）弹性力场的势能 称势能零点 （3）万有引力场中的势能 取零势能点在无穷远 质点系 重力场 （4）质点系受到多个有势力作用 质点系的零势能位置:各质点都处于其零势能点的一组位置. 质点系的势能:质点系从某位置到其零势能位置的运动过程 中,各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能. 已知:均质杆l,m ,弹簧刚度系数 k, AB水平时平衡，弹 簧变形为 . 举例: 求:杆有微小摆角时系统势能. 重力以杆的水平位置为零势能位置,弹簧以自然位置O为 零势能位置: 取杆平衡位置为零势能点: 即 质点系在势力场中运动,有势力功为 对于不同的零势能位置,系统的势能是不同的. 3. 机械能守恒定律 由 质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒.此类系统称保守系统. 得 机械能:质点系在某瞬时动能和势能的代数和. 质点系仅在有势力作用下,有 非保守系统的机械能是不守恒的. 已知：重物m=250kg, 以v=0.5m/s匀速下降，钢索 k=3.35× N/m . 求: 轮D突然卡住时，钢索的最大张力. 例12-9 卡住前 卡住后 解: 得 即 由 有 取水平位置为零势能位置 已知：m, , k，水平位置平衡 ，OD=CD=b。初角速 度为 。 求：角速度与 角的关系。 解: 例13-10 ＊4. 势力场的其他性质： (1)有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标 的偏导数冠以负号。 （2）势能相等的点构成等势面 。 （3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。 系统有多个有势力作用 等势能面不能相交。势能等于零的等势能面为零势能面。 §12-6 普遍定理的综合应用 非负的标量，与方向无关 内力作功时可以改变动能 理想约束不影响动能 在保守系统中，机械能守恒 动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。 矢量，有大小方向 内力不能使之改变 只有外力能使之改变 约束力是外力时对之有影响。不与能量相互转化，应用时不考虑能量的转化与损失。 当外力主矢为零时，系统动量 守恒 当外力对定点O或质心的主矩为零时系统对定点或者质心的动量矩守恒。 动量定理描述质心的运动变化 动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化。 动能 动量、动量矩 动量定理、动量矩定理和动能定理的比较 ? 动量、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范围内的运动变化问题。 ? 动能定理可以用于研究机械运动与其他运动形式之间的运动转化问题。 ? 动量、动量矩定理的表达式为矢量形式，描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运动量的方向。 ? 动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整体运动时，不涉及 运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理只能提供一个方程 。 ? 动量、动量矩定理的表达式中含有时间参数; 表达式中只包含外力，而不包含内力(内力的主矢和主矩均为零). 动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动力中可以是外力，也可以是内力(可变质点系) ；对于理想约束，则只包含主动力。