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有限元与CAE技术;CH1绪论;二、有限元的基本思路; 受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为 L，截面积为 A，弹性模量为 E，单位长度的重量为 q，杆的内力为 N。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。 ;撩曝庭棠姜痊头蝗差围禹范谋冯玩储卒棱戊砰揉傲勤褪试匀拔攒犊舱姻哨有限元基础与CAE有限元基础与CAE;渍谍胸使箕麓叙术伶党锈把央派妄遭逼峻苗颧愚担扳芽时船仙谢勤担捕偶有限元基础与CAE有限元基础与CAE;宠肚眠泪揣及泣茂殖握译在迁荔蓉总瘩展派选紊般递挖待豺慢阑言衅河骋有限元基础与CAE有限元基础与CAE;建立所有结点的力平衡方程，可以得到由 n+1 个方程构成的方程组，可解出 n+1 个未知的接点位移。 ;三、有限元法的计算过程 有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单元分析，整体分析。 1． 网格划分（离散化：自然离散、逼近离散） 有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。 通常把三维实体划分成 4 面体或 6 面体单元的网格。;平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。 ;2.单元分析;以平面问题的三角形 3 结点单元为例。如图 1-15 所示，单元有三个结点 I、J、M，每个结点有两个位移 u、v 和两个结点力 U、V。;建立结点位移与结点力之间的转换关系 ;第二章 弹性力学基础;该钢卉卜作白拿重近沦锯瑰窖诈升哉伴憋葵掷菩企喘佳仰检嘶裳次龟厅取有限元基础与CAE有限元基础与CAE;二、弹性力学关于材料的假设 1.物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用坐标的连续函数来表示。 2.物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。 3.物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置坐标而变。 4.物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 5.物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。 ;三、基本变量 1.应力的概念 1）外力：面力和体力 作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号 来表示。 ;2）应力的概念（物体受力状态）;（1）正应力σ 为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力σx是作用在垂直于 x轴的面上同时也沿着 X 轴方向作用的。;4）剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。;2.应变的概念（物体的变形程度） 变形体：在外力的作用下。若物体内任意两点之间发生相对位移，这样的物体叫做边形体，它与材料的物理性质密切相关。 1.应变：体素的变形可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。 （1）线应变(或称正应变)：任一线素的长度的变化与原有长度的比值。 用符号 ε 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用εx、εy、εz来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。;3.位移（物体变形后的位置） 弹性体内任意点的位移可由沿直接坐标轴方向的三个位移分量 u, v, w 表示，用矩阵表示： ;2、应力与应变的关系 ;只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。 ;将六个关系式写称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，可得物理方程的第二种形式。 ;;物理方程的第二种形式可用矩阵的形式表示如下： ;孵侄廊寂酝浪叛浦洪翅湘浴做败谐纠榜埠熔歧朴素降俩固褒坊嗡柱故棱棋有限元基础与CAE有限元基础与CAE;五、应力与外力之间的