圆锥曲线问题中的几则运算简化技巧.docVIP

+ 圆锥曲线问题中的几则运算简化技巧 　　圆锥曲线的方程都是二次方程，因而解决与此相关的问题时，往往涉及到较为复杂的代数运算，特别是含参问题的运算，有时极为复杂．这时如何采用合理手段简化运算，成为能否顺利解决这类问题的关键． 　　一、数形结合简化运算 　　例1:已知椭圆的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，点C在右准线上且BC//x轴，求证：直线AC经过线段EF的中点． 　　证明：如图，设直线AC与x轴的交点为N，过A作ADl，垂足为D，因为BC//x轴，所以BCl，于是根据椭圆几何性质，得 |BF|=e|BC|, |AF|=e|AD|. 　　 　　AD//FE//BC, 　　, 　　, 　　所以N为EF中点，即直线AC过线段EF中点N． 　　点评：本题的解法充分利用了图形的几何性质，即三角形相似及椭圆定义的几何表示，避免了复杂的代数运算．在圆锥曲线的许多问题中合理运用图形的几何性质，可以简化运算，如直线与圆的位置关系问题，一般借助圆的几何性质解决，其中(1)过弦的中点的直径垂直平分弦，(2)弦心距、半弦长、对应的半径构成直角三角形，(3)直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径等几何性质，都是在解题中经常用到的．或者利用代数表达式的特定几何意义，采用数形结合避免复杂代数运算，如，已知x, y满足x2+y2=1，求的取值范围． 可以看作是点(x，y)与点(2，2)的连线的斜率． 　　二、运用定义简化运算 　　例2：已知某椭圆焦点是Fl(-4，0)，F2(4，0)，过F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|FlB|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1，y1)，C(x2，y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C| 成等差数列．求AC中点的横坐标． 　　解：由条件易得椭圆方程为，且B点坐标为，右准线为，离心率．根据椭圆定义有、. 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得 ，由此得出x1+x2=8, 于是AC中点坐标. 　　点评：这个题目的求解过程利用了椭圆的第二定义，大大简化了代数运算，合理运用圆锥曲线的定义可以简化运算． 　　三、设而不求简化运算 　　例3：已知椭圆C的焦点为和，长轴长为6，设直线y＝x+2交椭圆C于A、B两点.求线段A、B中点的坐标． 　　解：由条件易得椭圆方程为．设A、B两点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，于是=1，且y0＝x0+2，将A、B两点坐标代入椭圆C的方程得 　　两式相减，得， 　　， ·2y0=0. 　　由y0=x0+2，得 . 　　点评：本题解法的本质是设出A、B两点坐标，但并不直接求解；而是作为中间过渡，即设而不求，巧妙地将复杂的运算简化，这种方法在解决与圆锥曲线的弦的中点有关的问题时非常奏效． 　　四、应用韦达定理简化运算 　　例4：设A、B为抛物线y2＝4px(p＞0)上原点外的两个动点，已知OAOB，求证：直线AB过定点． 　　解：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(x2，y2)．显然AB不平行于x轴，设AB不垂直于x轴，AB所在直线方程为y＝kx+b， 　　代入 y2＝4px，得 k2x2+(2kb-4p)x+b2=0, 　　. 　　又 y1=kx1+b,　 y2=kx2+b, 　　. 　　根据OAOB，得, 　　 x1x2+y1y2＝0，于是有, 　　解得b＝-4kp，所以直线AB方程为：y＝k(x-4p)． 　　故直线AB过定点(4p，0)． 　　当ABx轴时，设A(pt2, 2pt)，B(pt2，-2pt)． 　　由OAOB，得 pt2=2pt, t=2. 　　 AB同样经过定点(4p，0)． 　　点评：这个题目的解法应用韦达定理巧妙处理了条件OAOB，使得问题的运算量大大降低．运用韦达定理解决直线与圆锥曲线问题是解析几何常用的方法，它可以有效地避免复杂的二次方程的求解运算． 　　五、合理设参简化运算 　　例5：已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴．证明：直线AC经过原点． 　　证明：根据抛物线方程，可设, 　　则，由直线AB过焦点，易得 　　, , 　　故A、O、C共线. 　　点评：此题运用了抛物线的方程特点，用A、B两点带参数的坐标取代了普通直角坐标(x，y)，使运算大为简化．在解决圆锥曲线相关问题时，如果能够合理使用圆锥曲线的方程巧设有关点的坐标，可以简化运算．又如：已知x、y满足，求x+y的最值．如果令x=5cos,y=4sin，可使问题的解答化归为三角函数问题解决． 　　六、合理