复变函数论习题集解答.docVIP

第一章 一、1．C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.D 11.B 12.A 13.D 14.D 15D 二、1．ACD 2.BDE 3.CDE 4.ADE 5.ABCDE 三、1. 2. 3.(1).D开集 (2)D中任意两点可用全在D中的折线连接. 4.在D内无论怎样划简单闭曲线,其内部仍全含于D. 5.对E内每一复数,有唯一确定的复数与之对应. 6.如果及之一或者它们同时取 7. 8. ,为圆心,为半径 9.平面上点的任意邻域都有E的无穷多个点. 10.(1)彼此不交 (2)是一个有界区域 (3)是一个无界区域 (4)若简单折线的一个点属于,另一个端点属于,则必与有交点. 四、1.解: 2.解: 3.解:设则曲线,可写成 即 故将平面上曲线变成平面上的直线 4.解:设,则 故 5.解: 但 故 五.1.证明 故 设 (为实数,为正整数) 2.证明:已知 因此 3.证明:由于与同向相似的充要条件是且,而,于是有, 即 试证:以为顶点的三角形和以为顶点的三角形同相似的充要条件为 4．证明：四点共圆或共直线的充要条件为 或 试证：四相异点共圆周或共直线的充要条件是：为实数。 但， ， 因此共圆周或共直线的充要条件为为实数 试解函数在单位圆内是否连续？是否一致连续 5．在内连续但非一致连续 证明 （1）在内连续且不为0，故在内连续 （2），均存在使得 故在内非一致连续 证明：Z平面上的圆周可以写成其中的为实数，复数且 6．证明：Z平面上的圆周可以写成 其中为圆心，为半径 令，从而圆周可以写成 为实数，且 第二章 一、1.D 2.C 3.D 4.B 5.B 6.C 7.D 8.C 9.B 10. 11.D 12.B 13.C 14.C 15.D 二、1.BC 2.ABDE 3.ABCDE 4.BD 5.ADE 三、1、不解析，但在的任一领域内总有的解析点 2、（1）二元函数、在D内满足条件。 3、（为整数） 4、， 5、变点z绕这点一整周时，多值函数从其一支变到另一支。 6、以出发并伸向无穷的广义简单曲线，割破后的z平面上。 7、 8、（1）是一整时， （2）是一有理数学，（既约分数） （3）是一无理数或虚数。 9、（1） 10、，，当z从沿曲线C到终点时，的幅角的连续改变量 四、1、解： 故在z平面上解析，且 2、解： 3、解： 4、证明：可能的支点为0，1， 由于 ，故的支点为，因此在将z平面沿实轴从0到期割开后，就可保证变点z不会单绕0或者说转一周，于是在这样割开后的z平面上就可以分出三个单值解析分支。 另由已知 得 5、解：设由得 ， 且 五、1、证明：设则由 在D内解析知，从而 因而亦D内解析 2、证明：设则，由与均在D内解析知（1）（2） 结合此两式得，故均为常数 3．证明：由得，从而于是在D必常数 由于，因此且 故 4、证明：设则 从而 再由，可得，因此可推得在点z可微且 5．证明： 于是 从而在原点满足条件，但在原点， 当沿时 故在原点不可微 6、证明：的可能支点为由 知的支点为于是在割去线段的平面上变点就不可能性单绕0或1转一周，故此时可出两二个单值解析分 由于当z从支割线上岸一点出发，连续变动到时，只z的幅角共增加， 由已知所取分支在支割线上岸取正值，于是可认为该分支在上岸之幅角为0，因