复变函数第5章.docVIP

第五章 留数理论及其应用 1. 留数的定义 定义：我们把f(z)在z0处的罗朗级数中(z?z0)?1项的系数a?1称为f(z)在孤立奇点z0处的留数，记为 Res [f(z),z0]=a?1, (5.1) 2. 留数定理 定理5.1 留数定理 设函数f(z)在区域D内除有有限个孤立奇点z1,z2,…,zn外处处解析，C是D内包围这些奇点的一条正向简单闭曲线，那么 (5.3) 3. 留数的计算方法 (1) 如果z0为f(z)的m级极点，那么 (5.4) . (2) 若z0是f(z)的一级极点，那么 Res (5.5) (3) 设f(z)= ,P(z),Q(z)在z0都是解析的.如果P(z0),Q(z0)=0且Q(z0)，那么z0是f(z)的一级极点，因此有 Res[f(z),z0]= (5.6) 例5．5 计算积分，这里C: |z–1|=取正向. 4. 在无穷远点的留数 设函数f(z)在圆环域R|z|内解析，C为这圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，那么称f(z)沿C的负向积分值 称为f(z)在点的留数，记作 Res [f(z),]=. (5.7) 这个积分值与C无关，且根据公式(4.23)和(4.24)得 Res[f(z),]= (5.8) 即f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|内的罗朗展开式中z–1的系数的相反数. 由(5.7)式，我们有下述定理. 定理5.2 如果函数f(z)在扩充的复平面内只有有限个孤立奇点，那么f(z)在所有奇点（包括点）的留数之和为零. 4.利用留数求积分的值. 1. 形如的积分 (5.10) 例5.7 计算积分. 2. 形如的积分 (5.11) 其中zk(k=1,2,…,s)是R(z)在上半平面的孤立奇点. 变形为 (5.12) 3. 形如的积分 其中f(z)=R[]为z的有理函数，且在单位圆周|z|=1上分母不为零，因而可用留数定理来计算. 1.计算0,0: 2.计算在有限孤立奇点处的留数. 3. 求下列积分,其中积分路径为