概率论与数理统计复习资料.docVIP

随机事件及其概率 一、基本概念 1． 事件的关系与运算、运算规律 对偶律：， 2、概率的定义 频率：，其中为试验次数, 为事件发生的次数 概率的统计定义：在相同条件下重复进行n次试验，若事件发生的频率随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数(附近摆动，则称为事件的概率，记为 古典概型：具有下列两个特征的随机试验模型： 1. 随机试验只有有限个可能的结果; 2. 每一个结果发生的可能性大小相同. 概率的古典定义：在古典概型的假设下，设事件包含其样本空间中个基本事件, 即则事件发生的概率 概率的公理化定义：设是随机试验, 是它的样本空间,对于的每一个事件赋于一个实数, 记为, 若满足下列三个条件: 1. 非负性：对每一个事件,有 ; 2. 完备性：; 3. 可列可加性：设是两两互不相容的事件，则有则称为事件的概率. 概率的基本性质：设是两两互不相容的事件，则有 特别地，若，则 对任一事件A有 对于任意两个事件A，B有 3、条件概率与独立性 条件概率： （），在事件发生的条件下,事件的条件概率. 事件的独立性：,相互独立 相互独立 事件独立的性质： 当,时, ,相互独立与,互不相容不能同时成立. 但与既相互独立又互不相容(自证). 设,是两事件, 且,若,相互独立, 则. 反之亦然. 设事件,相互独立,则下列各对事件也相互独立: 若事件相互独立, 则其中任意个事件也相互独立; 若个事件相互独立, 则将中任意个事件换成它们的对立事件, 所得的个事件仍相互独立; 设是个随机事件，则相互独立 两两独立.即相互独立性是比两两独立性更强的性质, 伯努利概型（试验的独立性）设随机试验只有两种可能的结果：事件发生(记为)或事件不发生(记为)，则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验。 将伯努利试验独立地重复进行次，称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。 二、基本公式 1、加法公式： 若，则 2、乘法公式 ,相互独立， （），或（） ， 3、全概率公式 设是一个完备事件组,且则对任一事件,有 注: 全概率公式可用于计算较复杂事件的概率, 公式指出: 在复杂情况下直接计算不易时,可根据具体情况构造一组完备事件, 使事件发生的概率是各事件发生条件下引起事件发生的概率的总和。 4、贝叶斯公式 设是一完备事件组,则对任一事件,,有 注: 公式中,和分别称为原因的验前概率和验后概率.是在没有进一步信息(不知道事件是否发生)的情况下诸事件发生的概率.当获得新的信息(知道发生),人们对诸事件发生的概率有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化. 随机变量及其分布 基本概念 随机变量定义在随机试验的样本空间上的实值单值函数 分布函数：定义：即x是任意实数 性质：值域（有界性）：对于任意实数x，， 单调非减性： 若, 则； 右连续性： 计算概率：对于任意实数，且，有 二、离散型随机变量 定义：它的全部可能的取值是有限个或无限可列多个 分布律：设离散型随机变量的所有可能取值为, 称为的概率分布或分布律, 也称概率函数，即随机变量X取每个可能值的概率。 性质：； 分布律与分布函数：设离散型随机变量的概率分布为，则的分布函数为 常见的离散型随机变量： 二项分布： 二项分布特例：0－1分布 泊松分布： 三、连续性随机变量 定义：是连续型随机变量存在非负可积函数,使得对于任意实数成立： 概率密度函数：是连续型随机变量的概率密度函数，且 性质：，对一切x成立 （确定待定常数） 对于任意实数，且，有 若在点处连续, 则 连续型随机变量取任一指定值的概率为0 设充分小，则随机变量X取区间上值的概率近似等于 常见的连续型随机变量 均匀分布：若连续型随机变量的概率密度为 则称在区间上服从均匀分布, 记为. 概率意义：在区间上服从均匀分布的随机变量X，其取之落在中任意等长度的子区间内的概率是相同的，且与子区间的长度成正比。 指数分布：若随机变量的概率密度为 则称服从参数为的指数分布.简记为 或表达为：，指数分布是惟一具有无记忆性的连续分布类型 正态分布： 定义：若随机变量的概率密度为 其中和都是常数, 则称服从参数为和的正态分布. 记为。 参数意义：，的概率密度关于直线对称，由对称性可以得到 ，X落在μ左右两个相同大小区域内的概率相等 ，决定了概率密度的形状，最大值 标准正态分布正态分布当时称为标准正态分布, 此时, 其密度函数和分布函数常用和表示: 标准正态分布的重要性在于, 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 正态分布化为标准正态分布： 设则 标准正态分布表的使用： 标准正态分布表中给出的是时的数值, 当时, 利用正态分布的对称性