数学论文之极限.docVIP

论述主题：高等数学中的极限思想 学院：计算机与通信工程学院 班级：计算机科学与技术1301 论述者：杨凌锋 参考文献：《百度文库》，《高等数学第三版》，《同济大学数学系论极限》 高等数学中的极限思想 在没接触高等数学之前，我所认知的数学解题方法大致可以分为三类：1.代数计算（对数据进行分析进行代数运算）；2.几何作图（通过对图像的分析研究问题）；3.从特殊到一般的特殊化方法（如数学归纳法）。但是进入大学，学了高数之后，我有知道了一种数学中极为常用的思想方法——极限思想。在我看来，极限思想贯穿了整个高等数学，它不仅是数学分析的重要概念之一，有是微积分理论的基础，因而想要学好高等数学，首要的是掌握极限思想。对此，我对极限思想的作用和极限的一些基本解法做了一些了解和总结。 （一）极限思想的作用 世界本是由数字组成的，数学的进步就是世界的进步，这也许就是数学的魅力，不独立于其他事物，作为研究其他学科的工具。于是，也许你单是考虑极限并没有多大价值，但是它与其他知识结合起来就可以体现出巨大的力量。极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形从近似认识精确。 无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。 “变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。 曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。 量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。在点连续，则有；也就是说，假如函数在处是连续的，那么在时，函数的极限为。所以通常情况下只需把x的值直接带入表达式就可以了，如果结果有意义，则那就是极限值。 例：求 解：很显然函数在x=0处连续，所以只要将值带入即可。原式=。 这种解法在考虑函数是否连续比较麻烦，但考虑带入后值是否有意义十分简单，建议在算极限时先带入计算一下，如果值有意义那答案就八九不离十了。 二·消去零因子法 有时在计算极限时常常会遇到所求极限的分子的极限和分母的极限都为零,即型，且分子分母都为有理多项式的情况下，可以观察因式特征对其进行因式分解来消去零因子。 例：求； 解：原式=。 在用这种方法时要有充分的数据敏感性，准确的把握能够因式分解的代数式。 三·分子分母有理化 根式的出现往往令人烦恼，如果直接带入法可以解决是最好不过，但当直接代入法行不通时，可以考虑用分子分母有理化来达到化解的地步。 例：求；解：可以发现，这题直接带入时分子分母同时为零（没有意义），而且不能因式分解，但对他进行分子有理化却可以计算出极限值；原式=。 四·同除以最高次幂法 此类方法适用于变量趋向于无穷大的情况，同除以最高次后会出现趋向于无穷小的量。 例：求； 解：原式=（x趋向于无穷大，趋向于0）。这样转化就可以把无穷大量转变为函数在0处是否连续的问题了，之后直接将等于0带入即可。 五·利用无穷小的性质求极限：（1）有限个无穷小的和为无穷小（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 例1：求； 解：时，所以由无穷小的性质可知，极限的值为无穷小。例2：求； 解：可知, 所以是有界函数与无穷小的乘积的类型，极限值为0. 六·利用重要极限 这两个重要极限在求极限的解题过程中起着十分重要的作用，而且将x代换成就可以解决一类问题。 例1：求； 解，由重要极限可知，原式=1； 例2：求： 解：。 注：如果遇到（类型）的求极限时可用以下这个下公式，证明过程要用到恒等变形，比较简单，在此不给出证明。 七·利用洛比达法则求极限 如果函数式的极限出现了等未定式时，可采用洛必达法则。方法便是分子分母分别通时求导。 例1：求。 解：