等差数列及其应用.pptVIP

* * * 等差数列及其应用 目 录 一、等差数列 二、通项公式 三、等差数列求和 四、等差数列的应用 是一队数列且相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示。 ①1，2，3，4，5，6，7，8，9，… 　　②1，3，5，7，9，11，13. 　　③ 2，4，6，8，10，12，14… 　　④ 3，6，9，12，15，18，21. 　　⑤100，95，90，85，80，75，70. 　　⑥20，18，16，14，12，10，8. 像这些数列就是几位等差数列。 数列①中，d=2-1=3-2=4-3=…=1； 　　数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2； 数列③中，d=4-2=6-4=8-6=...=2； 数列④中，d=6-3=9-6=…=21-18=3； 　　数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5； 数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2. 例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是， 请指明公差，若不是，则说明理由. ①6，10，14，18，22，…，98； 　　②1，2，1，2，3，4，5，6； 　　③ 1，2，4，8，16，32，64； 　　④ 9，8，7，6，5，4，3，2； 　　⑤3，3，3，3，3，3，3，3； 　　⑥1，0，1，0，l，0，1，0； 解：①是，公差d=4. 　　②不是，因为数列的第3项减去第2项 不等于数列的第2项减去第1项. ③不是，因为4-2≠2-1. 　　④是，公差d=l. 　　⑤是，公差d=0. 　　⑥不是，因为第1项减去第2项不等于 第2项减去第3项. 为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an。an又称为数列的通项；a1又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项. 对于公差为d的等差数列a1，a2，…an…来说，如果a1小于a2，则显然a2-a1=a3-a2=...=an-a(n-1)=d,因此 a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d 　　a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d ... 　　 由此可知：an=a1+(n-1)×d (1) 若a1大于a2，则同理可推得:an=a1-(n-1)×d (2) 　 公式(1)(2)叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项. 例2 求等差数列1，6，11，16…的第20项. 　 　解：首项a1 =1，又因为a2；大于a1；， 　　公差d=6-1=5，所以运用公式（1）可知： 　　第20项a20=a1+（20-1）×5=1+19×5=96. 一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，我们可以得到项数公式： n=(an-a1)÷d+1(若an大于a1) 项数　　 (3) n=(a1-an)÷d+1(若a1大于an) 例3 已知等差数列2，5，8，11，14…，问47是其中第几项？ 　　解：首项a1=2，公差d=5-2=3 　　令an=47 　　则利用项数公式可得： 　　n=（47-2）÷3+1=16. 　　即47是第16项. 练一练 如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项. 方法1：要求第8项，必须知道首项和公差. 　　因为a4=a1+3×d，又a4=21，所以a1=21-3×d又a6=a1+5×d，又a6=33，所以a1=33-5×d所以：21-3×d=33-5×d， 　　所以d=6 a1=21-3×d=3， 　　所以 a8=3+7×6=45. 　　 方法2：考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d，其中a6已知，只要求2×d即可. 　　又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d， 　　所以 2×d=a6-a4 d=6 　　所以a8=33+2×6=45 若a1 小于a2，则公差为d的等差数列 a1,a2,a3…an可以a1,a1+d,a1+d×2，…， a1+d×（n-1）.所以，容易知道： a1+an=a2+a（n-1）=a3+a（n-2） 　　=a4+an-3=…