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微分方程 预备知识 第二章 分离变量法 2.0 预备知识－常微分方程 2.1 有界弦的自由振动 2. 2 有限长杆的热传导问题 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题 2.4 非齐次方程的解法 2.5 非齐次边界条件的处理 将(3),(4) 代入 (1) 得 两端比较 将(3)代入初始条件 2.4 非齐次方程的解法 常数变易法 所以 2.4 非齐次方程的解法 例　在环形区域 内求解下列定解问题 解　考虑极坐标变换: 2.4 非齐次方程的解法 定解问题可以转化为: 相应的齐次问题的特征函数系为: 2.4 非齐次方程的解法 于是可以设原问题的解为: 代入方程，整理得 2.4 非齐次方程的解法 比较两端 和 的系数可得 2.4 非齐次方程的解法 由边界条件，得 所以 2.4 非齐次方程的解法 由边界条件，可知 满足的方程是齐次欧拉方程，其通解的形式为 2.4 非齐次方程的解法 下面求 . 方程的通解为 由端点的条件， 得 原问题的解为 2.4 非齐次方程的解法 2.1 有界弦的自由振动 得C1 =C 2=0 从而 ，无意义 分离变量： 时， 由边值条件 (ii) 时, , (iii) 时, 则 而 由边值条件 由边值条件 从而 2.1 有界弦的自由振动 本征值 本征函数 2.1 有界弦的自由振动 T 的方程 其解为 所以 故 代入初始条件: 将 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边界条件 决定. 2.1 有界弦的自由振动 例1．细杆的热传导问题 长为 l 的细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热, x=0 端温度为0，x=l 端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度为 求此杆的温度分布。 解：定解问题为 2.2 有限长杆的热传导问题 得本征问题 由 及齐次边界条件，有 设 且 并引入参数λ分离变量 代入方程 2.2 有限长杆的热传导问题 当 或 时, 当 时, 由 得 由 得 故 即 令 有 函数方程 2.2 有限长杆的热传导问题 由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根 故本征值为： r y 图 1 2.2 有限长杆的热传导问题 2.2 有限长杆的热传导问题 对应的本征函数 的方程： 解为 故 由初始条件得 可以证明 函数系 在 上正交， 在（*）式两端乘以 并在[ 0, l ]上积分, 得 且模值 （二）利用边界条件,得到特征值问题并求解 （三）将特征值代入另一常微分方程， 得到 （四）将 叠加，利用初始条件确定系数 （一）将偏微分方程化为常微分方程 －－（方程齐次） 分离变量法解题步骤 －－（边界条件齐次） 2.2 有限长杆的热传导问题 　　分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。 　　其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。 注 2.2 有限长杆的热传导问题 课堂练习 一 二 二 二 二 一 一 一 取值范围 特征函数 特征值 右端点 左端点 总结：端点边界条件与特征值，特征函数的关系 2.2 有限长杆的热传导问题 练习： 求下列定解问题的解 其中 2.2 有限长杆的热传导问题 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题 1. 矩形域上拉普拉斯方程的边值问题 例1．矩形薄板稳恒状态下温度分布.设薄板上下底面绝热，一组对边绝热，另一组对边的温度分别为零摄氏度和 ，求