2 2 函数的连续性 (1 24).pptVIP

§2.2 函数的连续性 10 函数连续的概念 X0 A y=f(x) (1) f(x)在 x0 处无定义 A y=f(x) (2) X0 f(x)在 x0 处有定义 X0 y=f(x) (3) f(x)在 x0 处出现跳跃 (4) X0 y=f(x) f (x)在 x0 附近无界 (5) X0 y=f (x) f (x0) f (x)在 x0 处连续 图 (1)---(4) 在 x0 处曲线出现间断; 图 (5)曲线在 x0 处连续. 图形 (5)的特征： f(x0) f(x)在 x0 处连续 x0 y=f(x) (5) f(x) x 其中 即 定义： 设 在某邻域 上有定义 ,如果 则称 在 x0 处连续 f(x) 在 x0 处连续的 语言描述： 设 在某邻域 内有定义 ,如果对任 f (x) 在 x0 处连续的三要素： （1） 在某邻域 内有定义 ； （2） 存在 (设为A ); (3) f(x) 在 x0 处左连续： f(x) 在 x0 处右连续： f(x) 在 (a , b) 内连续： 若 f (x) 在 (a , b) 内每一点处 都连续 ( 称 f (x)为 (a , b) 内的连续函数 ) f(x) 在 [a , b] 上连续： 若 f (x) 在 (a , b) 内连续 , 在 x = a 处右连续 , 在 x = b 出左连续 , 则称 f(x) 在 [ a , b ] 上连续 (称为[ a , b ]上的连续函数) 定理 20 连续函数的运算性质 定理 ( 连续函数的四则运算性质) 设 f(x) , g(x) 在点 x0 处连续 , 则 (1) f(x)± g(x) 在点 x0 处也连续 ; (2) f(x) g(x) 在点 x0 处也连续 ; (3) 若 在点 x0 处也连续 ; 连续函数经四则运算后 , 在其定义域上连续 基本初等函数的连续性 (1) 基本三角函数在定义域上连续 由 可知：sinx ，cosx 在其定义域上连续 . 再根据连续函数的四则运算性质知： tanx ，cotx ，secx ，cscx 在其定义域上连续 . 所以, 基本三角函数在定义域上连续 证明 对任意的 x0 ? R , 证明 对任意的 x0 0 , 利用结论 (2) 指数函数 f (x) = ax ( a0 , a ≠1 ) 在其定义域上 连续 (3) 对数函数 f(x) = logax ( a0 , a ≠1 ) 在其定义域 上连续 (4) 幂函数 f (x) = xμ ( μ ≠0 ) 在其定义域上连续 证明 对任意的 x0 0 , 定理 ( 反函数的连续性) 设 y=f (x)在[ a , b ]上连续, 并且严格单调增 ( 或严格单调减 ) , f (a) =α, 在 (或 ) f (b) =β ,则反函数 上连续 , 并且也是严格单调增加(或严格单调减少). 证明 略 (5) 反三角函数在其定义域上连续 从而有以下结论： 基本初等函数在定义域上是连续的 定理 (复合函数的极限) 若 f (u) 在 u0 处连续 , 则有 即 说明：当 函数 f 连续时, 极限符号与函数符号 f 可以 交换次序 证明 对任意的 因为 y =f (u) 在 u0 处连续 , 从而得 定理证毕 推论 设 u= g ( x )在 x0 处连续 , u0= g ( x0 ) , y=f (u) 在 u0 处连续 , 则复合函数 y=f ( g ( x )) 在点 x0 处 连续 , 即 可知：两个(有限个) 连续函数构成的复合函数在 一定的区间内也是连续函数 定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 例如 30 函数的间断点及其分类 如果f (x) 在 x0 处不连续 , 则称点 x0 为函数 f (x) 的间断点 (或不连续点) . f (x) 在 x0 处连续的三要素： （2） 存在 (设为A ); (3) （1）f (x) 在某邻域 内有定义 ； X0 A y=f(x) (1) f(x)在 x0 处无定义 X0 y=f(x) (3) f(x)在 x0 处出现跳跃 (4) X0 y=f(x) f(x)在