高阶微分与泰勒公式.pdfVIP

2008年12月 陕西理工学院学报(自然科学版) D∞．2008 JournalofShaanxi of Science V01．24No．4 第24卷第4期 UniversityTechnolo日(NaturalEdition) [文章编号]1673-2944(2008)04-0076一04 高阶微分与泰勒公式 曹吉利， 刘延军 (陕西理工学院数学系， 陕西汉中723001) [摘要]泰勒公式在数学分析中具有很重要的地位。由一元函数的微分出发，引出一元函 数及二元函数的高阶微分，以微分形式给出一元函数及二元函数的泰勒公式，其优点是从微分 到泰勒公式，形式统一。举例说明了其应用。 【关键词】二阶微分；高阶微分；泰勒公式；近似计算 [中图分类号】0175 [文献标识码】A 在一元函数中微分的概念为[1】：设函数y=fC菇)在点‰的某邻域U(xo)内有定义，当给变量菇在‰ 处一增量△茹，且当‰+△菇∈U(xo)时，相应地函数有增量Ay=以髫。+△茗)一八‰)，如果其增量可表示 为 Ay=AAx+0(△茗)， 其中A不依赖于△茹，则称函数)，=八髫)在点粕处可微，并称AAx为厂(茗)在点‰处的微分，记作 妙I，，叼=AAx· 在上述定义下，从理论上可以证明…恰有A=厂’(茗。)，即drI，：知=，’(‰)△髫． 引入微分的好处之一在于近似计算，即若Ay用妙l，。知作近似，则有 Ay=以XO+△茗)-fCXo)*厂’(Xo)△菇， 即 以菇o+Ax)一．，．(XO)+．厂’(菇o)△菇． 在现行的教材[2】中对于高阶微分的定义均采用一阶微分的微分定义为二阶微分，二阶微分的微分 定义为三阶微分，以此类推，于是有d杈菇)=厂“’(菇)dx。．而这种定义既没有揭示其本质，也没有显示其 内涵，有不尽意之处，为此引入如下定义。 1 一元函数的高阶微分与泰勒公式 1．1二阶微分的定义 定义1设函数，，=厂(菇)在点‰的某邻域U(xo)内有定义，给变量菇在‰处一个增量Ax，且 粕+△茗∈U(x。)时，相应地函数有增量 Ay=fCXO+Ax)一以粕)， 如果其增量可表示为 Ay=AAx+暑(△茗)2一o((△菇)2)， ●： ‰处的一阶微分、二阶微分。依次分别记作母，d2Y，即 dyl，：知=AAx，d2yl，：知=召(△菇)2， 收稿日期：2008—06—24 作者简介：曹吉利(1956一)，男，陕西省礼泉县人，陕西理工学院教授，主要研究方向为基础数学。 万方数据 第4明 曹吉利，刘延军 高阶微分与泰勒公式 ——__—————●——-———_——————●-——_-—-———●————-—————-———一～ 可以证明：A可’(‰)，B_-f”(‰)．从而记号 d2儿。却=，”(知)(如)2≈厂。(知)如2， 与导数是微商的记号一致，并可推广到高阶微分。 1．2注记 若记髫xo+△茹，即△茗=善一粕，于是 Ay=fix)一只‰)=厂，(‰)(菇一‰)+￡善竽(茗一知)：+。((茗一知)2)， 即 以茗)=以％)+fi知)(茗一而)+￡萼掣(茗一‰)：+。((茹一粕)：)， 这就是泰勒公式的雏形，将其推广到厅阶泰勒公式有水到渠成之作用。 若用A△茗+暑(△茗)2作△y的近似，即 ， Ay=以‰+△茗)一以‰)。，，(‰)△茗+￡萼竽(△菇)z， 其精度大为提高。 例1求加确近似值。 解：考虑函数)，嗽菇)：拓，最‰：