河南省滑县教师进修学校申治国的专题测试之《数列,极限与数学归纳法》测试题.docVIP

河南省滑县教师进修学校申治国的专题测试之 《数列，极限与数学归纳法》测试题 选择题 １．在半径为１的圆内作内接正三角形，然后在所得正三角形内作内切圆，接着在第２个圆内再作内接正三角形，如此无限作下去，则所有这些圆的面积之和（即前项和的极限）是（　　）． Ａ． 　　　Ｂ． 　　　　　　Ｃ． 　　　Ｄ．不存在 ２．已知等差数列的前项和分别为，且，则（　　）． Ａ．１　　 Ｂ． Ｃ． Ｄ． ３．若存在，则实数的取值范围是（　　）． Ａ． 　 Ｂ． 　　　Ｃ．　　　　Ｄ． ４．已知等差数列共有项，其中奇数项的和是，偶数项的和是，则其公差是（　　）． Ａ．１ 　　 Ｂ．２ 　　　　Ｃ．３　　　　　Ｄ．４ ５．设是等差数列的前项和，且，则（　　）． Ａ．９ 　 Ｂ．３６ 　　　Ｃ．１７　　　　Ｄ．１８ ６．是等差数列的前项和，若，则下列说法错误的是（　　）． Ａ． 　 Ｂ． 　　　Ｃ．　　　　Ｄ．均为的最大值 ７．在数列中，如果存在非零常数，使得对于任意正整数均成立，那么就称数列为以为周期的周期数列．已知数列满足，如果，当数列的周期最小时，该数列前项的和是（　　）． Ａ． 　 Ｂ． 　　　Ｃ．　　　　Ｄ． ８．设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2008，那么数列2， ，，……，的“理想数”为（　　）． A．2002 　　　 B． 2004 　　　 C． 2006 　　　 D． 2008 ９．定义在上的函数，满足，且，则（　　）． Ａ． 　　　　 Ｂ． 　　　　　　Ｃ．　　　　　　　　Ｄ． １０．一群羊中，每只羊的重量均为整数千克，其总质量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各羊的千克数能组成一个等差数列，则这群羊共有（　　）． A．5 只 　　　 B．6只 　　　　 C．7只 　　 　　 D． 8只 １１．已知，且，则（　　）． Ａ． 　 Ｂ． 　　　Ｃ．　　　　Ｄ．１ １２．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第个图案中有白色地面砖的块数是　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． B． C． D． 填空题 １３．已知等差数列，其中是等比数列的相邻三项，若，则 　　　　　　　． １４．若的展开式中各项系数的和是，的展开式的二项式系数和为，则 ． １５．若 ，则 ． １６．设，数列满足，则数列的通项公式是 ． 解答题 １７．已知函数． （１）若数列的前项和为，且，，试猜想出通项，并用数学归纳法证明； （２）求． １８．在数列中，其前项和为，且，． （１）求通项； （２）求． １９．已知数列，（为给定的非零常数），． （１）是否存在常数，使数列是等差数列？如果存在，求出的值，若不存在，说明理由． （２）设，数列的前项和为，求． ２０．已知函数，设正项数列满足，． （１）写出，的值； （２）试比较与的大小，并说明理由； （３）设数列满足，记．证明：当时, ． ２１．已知等差数列的首项为，公差为；等比数列的首项为，公比为，其中，且 （１）求的值； （２）若对于任意，总存在，使，求的值； （３)甲说：一定存在使得对恒成立；乙说：一定存在使得对恒成立．你认为他们的说法是否正确？为什么？ ２２．已知等比数列的各项不为1的正数，数列满足(且)，设，． （１）求数列的前多少项和最大，最大值是多少？ （２）设，，求的值． (３)　试判断，是否存在自然数M，使当时恒成立，若存在求出相应的M；若不存在，请说明理由． 答案及提示 １．Ａ．所得圆的面积构成以为首项，为公比的等比数列，故所求为． ２．Ｃ．设等差数列的公差分别是，可知． ３．Ｂ．，于是只要存在，于是，或，得． ４．Ｂ．，得． ５．Ｄ．由，及，则，于是；或者根据数值，，， 成等差数列，于是，． ６．Ｃ．由，可知，则数列为递减数列，前６项为正，第７项为负，第８项开始均为负，于是Ｄ对，，所以只有Ｃ错误．也可以从是关于的二次型函数的角度研究． ７．Ｄ．数列前四项是，若，或，验证可知不合题意，当时，数列是以１为周期的数列，数列前项的和是． ８．C．， ． ９．Ｄ．注意数列的奇数项，偶数项分别构成等比数列，． １０．Ｂ．可得，验证可知，只有． １１．Ｂ．由，得，作差得，于是． １２．Ｃ．白色地面砖的块数依次构成以６为首项，４为公差是等差数列． １３．１或．由于，故，得，，或，代入可知． １４．．可知，，于是 ． １５．． ，得． １６．．令则, 则，两式相减得：时，，且