装订线内答题.docVIP

装 订 线 内 答 题 无效 ****************** ****装 ********************订 ********************线 ** ** ** ** ** ** ** ** 新疆大学 2005 至 2006 学年第 一 学期期末考试 高等代数2 A卷 试题标准答案及评分标准 开课院（系） 数学学院 学生班级 考试方式 2006年 1 月 第一部分 选择题（共 24 分） 一、单项选择题（每题只有一个正确答案，答对一题得 3 分，共 24 分） 1、B 2、A 3、B 4、C 5、D 6、C 7、B 8、A 第二部分 非选择题（共 分） 二、填空题(每题 3 分,共 21 分,) 9、 ，2 10、1，1/a 11、2，1,i 12、 (1,0,2,1) 13、 B=X-1AX 或相似关系 14、 15、6 五、计算题 16、 答： 由，有，（2分） 设，则有 （4分）解得基础解系（6分） 故,它的一组基为，维数为2（8分） 17、 由可知，A在基1,x,x2下的矩阵为 （4分） (2)因为R(A)=2，所以dimAV=2，而Ax,Ax2线性无关，即1,x是AV的一组基。显然dimA-1(0)=1，且1是它的一组基（4分） (3)不是一次因式的乘积，所以A不能对角化（4分） 或者A的特征值为（三重根），对应的线性无关的特征向量只有一个，所以A不能对角化。 或中 初等因子为，不是一次因式的乘积，故A不能对角化。但A相似于Jordan标准形 18、 答： ，，（2分） 故；由于A是四阶方阵，所以A的四个不变因子的次数之和等于4，故（4分）且。初等因子为（8分） 约当标准形为或（10分） 19、1）二次型f的矩阵为（3分） 2）A的特征值为（3分） 应的特征向量分别为（6分） 们两两正交，单位化得 令则T为正交矩阵，X=TY为正交变换且 （3分） 四、证明题 20、证明 存在可逆矩阵A，使得BA=A-1（AB）A，（2分）故AB与BA相似。（3分）从而，（4分）即AB 与BA有相同的特征值（5分） 21、 （2分） 设是A的一个特征值，是的对应的特征向量，即 A=,, ()=-() 由此()=-()（4分） 但,故（5分）