柳卡图解行程问题.docxVIP

数学竞赛讲义之行程问题多车相遇例72 、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，自隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿着电车线路骑车前往甲站。他出发的时侯，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到到了10辆迎面开来的电车，到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？解：一辆车走完全程需要15分钟，所以一辆车刚发出时，途中有15÷3-1=2辆车。所以当人骑车出发时，而甲站车时，在中途有两辆车子，可以相遇，所以共相遇10辆车，于是又发车8辆相遇，恰到达时，又发车，于是发车9辆时，甲到达，即有8个时间间隔，时间为5×8=40分钟。所以骑车行完全程的时间为40分钟。例73、某人沿电车路线行走，每隔12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的。求这个发车间隔。解：因为两辆电车的间隔目相等，两次相遇期间，共走了[（行人+电车）×4]，所以两辆电车的间隔为[(行人+电车)×4]，于是两辆车间隔时间为。两次追及期间，共行走[电车×12]，行人行走了[行人×12]，所以电车行走了[（电车-行人）×12],两辆电车的间隔为[（电车-行人）×12],于是两辆车的间隔时间为。于是有，所以3×（电车-行人）=电车+行人，即有：电车=2×行人。所以分钟。例74、从电车总站每隔一定时间开出辆电车，甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上一辆迎面开来的电车，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？假设甲、乙、电车共同相遇在A点，甲、电车下一次相遇在C点，乙、电车相遇在B点。则B距A点距离为BA=米C距A点距离为CA=82×10=820米所以BC两点相距的路程需电车10分钟15秒-10分钟=15秒=分路程为820 – 615=205米于是，电车的速度和为米/分于是，当10分钟前与甲、乙相遇的电车离甲(820 + 82)×10 = 9020米远。两电车间隔为9020米。所车间隔为9020÷820=11分钟。柳卡问题：这是一个著名的数学问题，由法国数学家柳卡在19世纪一次数学大会上提出：每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿弗尔开往美国纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿弗尔。轮船在途中需要7天7夜。假定所有轮船都以同一速度、同一航线行驶。问某艘勒阿弗尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？后来，一位数学家画出了“路程图”（运程图），才得以解决。中途13艘，首尾2艘，共15艘。从图上可以看山，在某轮船开出的前7天，纽约港已有7艘轮船驶入航程，加上当天的一艘，共计8 艘。之后，纽约港每天还有1艘轮船驶入航程，共计7艘。这样从勒阿弗尔港驶出的轮船在整个运行过程中，将要和本公司的15艘轮船相遇。从图上看，当中一列 (蓝色〉共有16行相交，除去勒阿弗尔港当天自己开出得一列（红色），相交数也是15。例75、一条双向铁路上有11个车站。相邻两站都相距7千米，从早晨7 时开始，有18列货车由第11站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都为每小时60千米。早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11站驶去，时速是100千米，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一个站，问在哪两个相邻站之间，货车能与3列客车先后相遇？图像法：画出示意图，利用示意图求解，但是要求图像一定的精确度。所以，一般采用图像法与分析法结合使用，对有可能的情况进行分析。由上图可知，客车在5、6两站遇见三辆客车。分析法：客车从一个站到下一个站所需的时间为分钟所以客车到第一站的时间为第一站 8时0分 第二站 8时分 第三站 8时分第四站 8时分 …… …… 第十一站 8时42分而客车出发时，第一辆货车距它千米所以客车与第一辆车相遇为8时分相邻两货车相距为千米所以，客车经过两辆货车的时间间隔为分钟则客车与18辆货车相遇时间顺次为第一辆：8时分，即8时分第二辆：，即8时分第三站：，即8时分第四站：，即8时分第五辆：，即8时分……所以，客车在8时分到达第五站，8时21分到达第六站。在此期间，它于8时……，8时……，8时分三次与货车相遇。所以在第5、6两站之间，客车与货车三次相遇。例76、长途汽车有甲、乙两个终点站，汽车要用4小时才能驶完全程。从上午6点开始，每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车，最后一班车在下午4点发出。问从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车？最少能看到到几辆？解：最多9辆，最少5辆例77、由A、B、C、D、E五名小学生进行马拉松比赛。不管前半程怎样，当他们从折返点返回跑后半程时，每人的速度都是固定不变的