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第17讲 三角形与三角函数 常熟市中学 顾维军 一、高考要求 在高考试题中，有关解三角形的内容并不多，出现的有关试题大多属于容易题，最高到中档题，主要考察正弦定理余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形的形状为主，考察有关定理的应用、三角恒等变换的能力及转化的数学思想． 二、两点解读 重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式．②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．③能解决与三角形有关的实际问题． 难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．②将实际问题转化为解斜三角形． 三、课前训练 1．给出下列4个命题：①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；③若cosAcosBcosC0，则△ABC是钝角三角形；④若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC是等边三角形． 其中正确的命题是 ( ) （A）①③ （B）③④ （C）①④ （D）②③ 2．已知△ABC中，a＝10，， A＝45°，则B等于 　 ( ) 　 （A）60° （B）120° （C）30° （D）60°或120 3．在中，若，AB=5，BC=7，则AC=__________． 4．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且， ． 典型例题 例1 在△ABC中，如果(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则A等于 ( ) （A）150° （B）120° （C）60° (D）30° 例2 在△ABC中，若 sinA＝，则A＝ ． 例3 △ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝ 例4 在中，，，，求tanA的值和ΔABC的面积． 例5 若中，a，b，c分别是的对边,且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求b+c的值． 例6 锐角中，角所对的边分别为，已知， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，，求的值． 第17讲 三角形与三角函数 过关练习 1．在△ABC中，若，则△ABC是 ( ) （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等边三角形 （D）等腰直角三角形 2． 若的内角满足，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 3．已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是 （　 ） （A） （B） （C） （D） 4．在中，分别为 ， 边所对的角，若 成等差数列，则角的范围是 （ ） （A）0B≤ （B）0B≤ （C）0B≤ （D) Bπ 5．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ． 6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．若sinA:sinB:sinC=5:7:8，则a:b:c= ， ∠B的大小是 ． 7．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 8．在△ABC中， A、B、C成等差数列，b＝1，求证：1＜a＋c≤2． 第17讲 三角形与三角函数 参考答案 课前训练部分 1．B 2.D 3.3 4.3/4 典型例题部分 . C.由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc得(b＋c)2－a2＝3bc,∴b2＋c2－a2＝bc， ∴ . 例2. 60°. 2sin2A＝3cosA，2（1－cos2A）＝3cosA，（2cosA－1）（cos cosA＝2 （舍）, ∴cosA＝，A＝60°.∴A＝60°． 例3． 30°.由b＝2a得sinB＝2sinA，又B＝A＋60°,∴sin(A＋60°)＝2sin ∴sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA,∴sinA＝cosA，∴, 又0°＜A＜180°，∴A＝30°． 例4．先解三角方程，求出角A的值． 又, 例5. （Ⅰ）由得：，可得：，，. （Ⅱ） ，. 例6．（Ⅰ）因为锐角△ABC中，A