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第十章 模型试验基础 处理水力学问题的一个基本途径是直接应用前面所述的描述液体运动的基本方程进行求解，但由于液流运动基本方程的非线性和液流边界条件的复杂性，在求解这些基本方程时，往往在数学上会遇到难以克服的困难。因而不得不寻求其他分析途径和实验方法来解决工程中所遇到的水力学问题。而量纲分析和液流相似理论将为解决这一类问题提供十分有效的手段。 本章的重点在于：应用量纲分析方法，在观测水力现象的基础上，建立其影响因素间的正确关系；以及从液流相似原理出发，在建立各种力的相似条件下，得到所应遵从的各种相似准则和由此而得出的各种比尺关系，为力学问题的试验研究，提供理论依据。 §10-1 量纲、单位和无量纲数 1．量纲和单位 结论中已经提到，水力学中常见的物理量有长度、时间、速度、质量、力等等。每一个物理量都具有数量的大小和种类的差别。表征物理量的性质和类别的符号称为物理量的量纲(或因次)。例如，长度和时间就是不同性质的量。而管径d和水力半径R都是具有长度性质的同一类的物理量，它们在性质上都具有长度的量纲。 量度各种物理量数值大小的标准，称为单位。如长度的单位用米、厘米、尺、英尺等；时间的单位是秒、分、时等。虽然测量某一类物理量的单位可以有不同的选择，表示该物理量的数值大小也就不同，但是所有同类物理量均具有相同的量纲。所以，量纲是物理量“质”的表征，而单位是物理量“量”的表征。 通常表示量纲的符号为物理量加方括号［］。例如长度L的量纲为［L］，时间T的量纲为［T］，质量M的量纲为［M］等等。 全部物理量的量纲分为基本量纲和导出量纲两大类。所谓基本量纲指的是这样一组量纲：用它们的组合可以表示其余物理量的量纲，而它们之间却是彼此独立不能相互表示的。其余的量纲可由基本量纲导出，故称为导出量纲。在力学问题中，国际单位制(简称SI)规定［L］、［T］、［M］为基本量纲，对应的基本单位长度用米(m)，质量用公斤(kg)，时间用秒(s)。力F的量纲［F］可由基本量纲［L］、［T］、［M］直接导出，故［F］为导出量纲。但在工程界，80年代以前习惯用［L］、［T］［F］作为基本量纲，简称LTF制，而将质量的量纲［M］作为导出量纲。LTF制现已被LTM基本量纲所取代。 在力学中通常遇到三方面的物理量。 几何学量：如长度L、面积A、体积V等。 动力学量：如速度u、加速度a、角速度ω、流量Q、运动粘性系数ν等。 运动学量：如质量m、力F、密度ρ、动力粘性系数μ、切应力τ、压强p等。 2．有量纲数和无量纲数 力学中的某个物理量U，它的量纲可以用［L］、［T］、［M］这一组基本量纲的组合来表示，即 (10-1-1) 式中基本量纲的指数α、β、γ的数值由该物理量的性质来决定。 例如，当U为速度时，α=1,β=-1,γ=0；当U为力时α=1,β=-2,γ=1等等。公式(10-1-1)称为量纲表达式，只要指数α、β、γ中至少一个不为零，则说该物理量U是有量纲的量。 当α≠0,β=0,γ=0时，称为几何量；而当α=β=γ=0时为无量纲量。 当β≠0,γ=0时，称为运动学的量。 当γ≠0时，称为动力学量。 当α=β=γ=0，则称此物理量U为无量纲量，记为 (10-2) 此时物理量U的数值与基本单位(L,M,T)的选择无关，而为一个纯粹的数。它在所有单位制中保持同样的数值。例如，底坡i是落差对流程长度的比值i=Δh/L，其量纲为［L/L］=［L0］=［1］，即为无量纲数。圆周率π为圆的周长与直径之比，在任何单位制中其数值都不变化；此外，无量纲数还可以是几个物理量综合比较后的结果。例如前面所介绍过的雷诺数Re=、佛汝德数Fr=等，都是无量纲量(数)。无量纲量的值与单位的选择无关(组合成无量纲量的各物理量所选的单位必须一致)，这是无量纲数的重要特点之一。 §10-2 量纲齐次性原理和量纲分析法 1．量纲齐次性原理 在各种物理现象中，各物理量存在着一定关系，可表示为物理方程。如果一个物理方程完整地反映了某一个物理现象的客观规律，则方程中的每一项和方程的两边一定具有相同的量纲，物理方程的这种性质就叫做量纲的齐次性原理。例如，作为推导力学相似准则基础的牛顿第二定律 F=ma 显然方程量纲是相同的，因为当采用基本量纲为M、L和T时，方程左边力的量纲是MLT-2，而方程右边的量纲也是MLT-2，即方程两边的量纲是相同的。 众所周知，正确的物理规律不应随单位的选择而改变其形式。所以，为了正确地反映客观规律，物理公式可以由无量纲形式组成：或者说，它们能够化为无量纲形式。由于量纲的齐次性，任何完整的物理公式都是可以化为无量纲形式的。 例如，理想液体伯诺里能量方程 可