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正项级数判别法的推广 PAGE PAGE 10 数分开放式作业 正项级数判别法的推广 叶子豪1 杨南君2 指导老师 杨小远3 1北京航空航天大学 高等工程学院，北京，100191 2北京航空航天大学 计算机学院，北京，100191 3北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室 摘要 根据前人对正项级数收敛的判别，本文基于Gauss判别法思想，给出更高精度判别法。并且由此推广，给出不断提高精度的判别法的构造思想以及一般表达式。同时证明不存在一个精度最高的正项级数判别法，即证明出没有收敛最慢的级数。 关键字 正项级数 判别法 收敛速度 引理1 设正数列和,如果当时有不等式： ， 那么当收敛时，则也收敛。由比较判别法，从收敛即得收敛。为了以后叙述的方便，我们称为基数列。 构造高精度正项级数判别法，实质便是找到一个收敛速度足够慢的正项级数，根据引理1，通过基数列的前后两项间的比值与待判定的正项级数的前后两项间比值比较来判定其是否收敛。选定作为参考的正项级数可以判定出比它收敛速度快的正项级数的收敛性。也就是说，作为基数列正项级数收敛速度越慢， 基金项目：北京市精品课程建设项目资助 叶子豪：北京航空航天大学高等工程学院大学一年级学生 杨南军：北京航空航天大学高等工程学院大学一年级学生 杨小远：教授、博导，主要研究方向应用调和分析和图像处理。 由此建立的正项级数判别法判别范围就越广，我们称之为精度越高。所以，当前要务便是找到这样一个收敛速度足够慢的正项级数，它要求收敛且慢于Gauss判别法的基数列。 Raabe，Gauss判别法的基数列与的结构启发，我们首先考虑。 定理1：证明收敛，并且收敛速度慢于。 证明： （1）首先证明级数收敛 正项级数通项，考虑 ，当时，且单调递减。由Cauchy积分判别法，所以与定积分敛散性相同。 而 当时，，当时，。于是得知定积分收敛。从而正项级数收敛。 （2）下面证明收敛速度慢于。 由于 综上所述，定理得证。 下面，基于此正项级数，构造新的正项级数判别法。 定理2 若正项级数满足条件 则当时级数收敛，时级数发散。 证明：令，根据引理1，如果在充分大时满足 则收敛。考察： 。 而 ， 故 故 若，取使得，则 则当时，有，故收敛。 若，则 则当时，有，而发散，故发散。此判别法的极限形式： 定理3 若正项级数满足条件： 则收敛； 若 则发散。证明略去。 根据此思想，进一步地，可以归纳出更加普遍的情况。于是，可以构造出一个二维数阵，满足： 。 这时，随着的增大，以为基数列的判别法的精度不断提高。由此推广，可以得到足够高精度的正项级数判别法。在此给出定理2的推广，即一般情况： 定理3 若正项级数满足条件 则当时级数收敛，时级数发散。 为了叙述方便，记，，其中。 为了证明此定理，首先先给出下面三个引理。 引理2 在时收敛，时发散。 证明：由Cauchy积分判别法 因此结论成立。 引理3 。 证明：显然有。下证。 当时，命题显然成立。 当时： 。 故引理得证。 引理 4 。 当时：命题显然成立。 设当时命题成立，则当时： 命题亦成立。故引理得证。 引理4 。 证明：当时，命题显然成立。 假设时命题成立，则当时： 故引理得证。现在我们可以开始定理2的证明了。 证明：令。根据引理1，如果数列在充分大时满足 则收敛（选作为下界是考虑到的定义域）。 下说明： 当时，结论显然成立。 当时，结论也成立。这是因为： 若，取使得，则 当时，有。故收敛。 若，则 当时，有。由引理2知，发散，再由引理1知，发散。 故定理得证。下面举一个例子： 例 判断级数在时的敛散性。 解：这个级数形式极其复杂，可以说是专为我们的判别法设计的！ 令。故 由定理1立即可知，当时级数收敛，时级数发散。 随着m的增大，计算复杂度随之增大，而得到的回报便是正项级数判别法的精度被不断提高。 但是，并不能有理想的收敛速度最慢的正项级数，以此达到完美判别的效果，因为，我们有： 定理3任给一个收敛的正项级数，可以构造另一个正项级数，使得收敛，且。 证明： 令，。再令，，下证明是满足条件的。 因 ，故而为正项级数。令，则，则。故而收敛。 而 故而证明了是满足条件的级数。 结论：本文研究了相对Raabe，Gauss判别法而言的更高精度判别法。并且由此推广，给出任意有限高精度的判别法的构造思想以及一般表达式。同时证明不存在一个精度最高的正项级数判别法，即证明出没有收敛最慢的级数。 或许，世界就是这样，从不给人类一个完满的答复。它似乎在有意雕刻残缺这个词汇，充斥着大街小巷，遨游于光年星