微分是求函数相对於变数x的变化率.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 5 Chapter 1 微分 微分是求函數相對於變數x的變化率，或說是每單位x變化下，相對應的f變化。這就如同速度是位置相對於時間的變化率，它的意思就是單位時間變化下所對應的位置變化。當變數由x增加為時，函數相應地也會有變化，定義函數變化，那麼即是x至這個範圍內的平均變化率（每單位x變化下，相對應的f變化）。如果進一步讓這個範圍逐漸縮小，取的極限，那麼所得到的就是在x處的變化率，此變化率記為： 稱為導數(Derivative)，其實就是在x處函數f的變化率。 導函數的幾何意義：導數為函數f的曲線在x處切線的斜率。 ΔxxΔffxf Δx x Δf f x f 根據以上定義我們自然可以在任何x計算導數，如此得到一個變數x的函數，就稱為導函數，記為或。由函數f(x)得到其導函數f’(x)的運算，就稱為微分（Differentiation）。如果這裏的變數x是時間t，而函數f是質點的位置x(t)，則導函數便是位置函數x(t)的變化率，也就是速度函數v：， 。 常數的微分：，，因此。 線性組合： 多項式的微分：，， 而，因此。 倒函數的微分： 試試看：對負整數的n，也能適用。比如 乘積律： 證明： 連鎖律（合成函數的微分）： 證明： 例1：，可設，則在第一項中，g視為變數，第二項中g視為函數：。 例2：反函數的微分：設g為f的反函數，則，根據連鎖定律： ，因此。 利用此一定律可以計算的導函數，函數g是的反函數，因此，這與n是整數時的結果是一樣的（見4）。由以上這些公式可以進一步推得當n是有理數時，第4.點中的公式還是對的，也就是。 高階微分：請注意導函數本身也是一個x的函數，所以對它我們也可以求變化率，也就是微分，所得結果稱為二次導數： 以此類推，即可定義n階導數：。如果這裏的變數x是時間t，而函數f是質點的位置x(t)，則位置的二次微分便是速度的變化率，也就是加速度a：。 函數的極值：導函數可以幫助我們找出函數的極值。當函數是極大值或極小值時，在當地的函數曲線之切線斜率一定為0，所以如果一函數在處出現極值，那麼在處的導數一定為0：。 fx f x x0 f x x0 至於極值是極大還是極小，必須由二階導數，也就是斜率變化率來決定。如上圖所示，當的極值是極大值時，斜率在極值附近由正變負（當x增大），故。當的極值是極小值時，斜率在極值附近由負變正（當x增大），故。 3D空間中的速度與加速度：在三度空間中，質點的位置以一個向量來表示，選擇一座標系後，一向量可以三個分量來描述，這些分量都是時間的函數： 現在位移向量是前後位置向量的差，其中等等，因此速度向量就是時位置向量的變化率： ， 也就是將三個分量分別微分，同理3D的加速度也可以如此定義： 。 例子：等速圓周運動的加速度：一個等速圓周運動的座標可以很容易寫出來，如果旋轉的角速度為，那麼假設此運動開始旋轉時的角度為0，則時間t時的角度應為，因此它的位置座標為，為了求得速度，必須知道對的微分： 當時，，（可以在一個半徑為1，弧角為的情況來看） 因此。用類似的計算可以導出：。 現在可以計算等速圓周運動的速度（運用連鎖律）： 你可以驗證這個結果是否是對的，試試看這樣得到的速度向量與位置向量互相垂直，而且大小是正好是我們所預期的。 再將速度向量微分一次即得加速度向量： 可以明顯看出加速度與位置向量反向，而大小為，用速度大小表示，就是。 指數函數的微分：，。我們知道當時，所以在此極限下，可以寫成，因此。即使我們還不知道常數c是多少，我們已經得到一個重要的訊息：指數函數的微分和它自己成正比。 現在我們可以將我們的無知限縮在一個數之中：對於不同的a，c也會不一樣，比如a=1時c=0，而a很大時，c應該也很大，那麼在a=1與之間，應該有一個a，對於它來說，對應的c=1。將此數稱為e，那麼 。 假如知道e的值，我們可以反過頭來用e來計算任何一個數a的指數函數：可以寫成，此處對a取以e為底的對數，也就是。因此，運用連鎖率。所以可以得出上面所提到的c其實就等於。因此唯一需要再努力的就是計算常數e是多少。常數e是一個無理數，在數學上就像π一樣重要，其值大概是2.71828左右。