微分的几何意1.docVIP

PAGE PAGE 7 微分的几何意义 设函数在点处可导，如图一所示，直线MT为曲线在点 图一 微分的几何意义 图一 微分的几何意义 M处的切线，,。 所以，，而PQ为曲线在M点处的切线MT上的纵坐标的增量。当自变量很小时，就可以用切线段上的增量来近似代替曲线段上的增量。若曲线的弧长为，则有 ……（1） 式称为弧的微分公式，由图可知： 当曲线上的N点无限地（想象力比知识重要！）接近M点时，即时，曲线的弧长为转化为直线（切线MP）。此时，(增量等于微分)。 根据导数与微分的关系、导数与积分的关系，由基本初等函数的求导公式和积分公式，可以直接推出其微分和积分公式。 函数的导数我们是这样定义的： 设函数 在点x0处及其近旁有定义，当自变量 x在x0处有增量 时，相应地函数y有增量。 如果 的极限存在，这个极限称为函数y=f(x)在点x0处的 导数（或称为变化率），记为： 如果 极限不存在，就说函数y=f(x)在点x0处不可导。 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤： 1.求增量： ……（1） 2.算比值： ……（2） 3.取极限： ……（3） 例1 求函数 的导数。 解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取极限: 同理可得: 。 例2 求正弦函数 的导数。 解： 因为 又因为 即 （sinx)′=cosx (cosx) (cosx)′=-sinx 同理可得： 采用类似的方法可以求得其他函数的导数 采用类似的方法可以求得其他函数的导数.如下表 导 数 公 式 微 分 公 式 积 分 公 式 定积分是怎么计算出来的 （一）、定积分问题举例 1、求曲边梯形的面积 xy=f(x) x y=f(x) 思想方法 分割： 将曲边梯形分成许多细长条在区间[a,b]中任取若干分点： 把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间 ： 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为 y=f(x) y=f(x) x0 x 0 （2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形 xy x y 0 y=f(x) ξ ｉ f(ξ) ｉ 求和： 小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。 把n个小矩形的面积相加得和式 它就是曲边梯形面积A的近似值，即 （4）取极限： 当分割无限时，所有小矩形的面积之和的极限 就是曲边梯形面积A的精确值。 分割越细， 分割越细， 就越接近于曲边梯形的面积A，当 当小区间长度最大值趋近于零，即 （表示这些小区间的长度最大者）时，和式 的极限就是A，即 可见，曲边梯形的面积是一和式的极限。 （二）、定积分的定义 定义 设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点： 任取 作和式 近似求和 记 若 取极限 存在，且极限值I不依赖于 的选取，也不依赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)，记作 , 即 其中：f(x)叫做被积函数; f(x)dx叫做被积表达式; x叫做积分变量; a叫做积分下限，b叫做积分上限; [a,b]叫做积分区间。 如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b]上不可积。 注：定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。即 (三)、定积分的计算 如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b]上不可积。 注：定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与