知识2离散傅里叶变换及其快速算法课件.docVIP

用Fourier变换来表示序列和线性时不变系统的频域特征，但是频谱是ω的连续函书，用计算机处理和分析频谱是不方便的。那么就需要像时序信号那样，通过采集把连续信号变为离散信号，也对连续频谱采样而得到离散频谱，然后用数字电路或计算机进行处理和分析。有限长序列在应用中有重要的作用，通过它可以导出另一种Fourier变换表达式，即离散傅里叶变换(DFT)，此为解决频谱离散化的有效方法，同时DFT的高效算法——快速傅里叶变换FFT。 周期序列 一个周期为N的周期序列，对于所有的n，应该满足： 周期序列的周期N，一般使用最小周期作为周期。与连续时间周期函数相比，周期序列由于n及N均为整数，周期序列中应用最广泛的序列是： （2-1） 上图就是周期序列（N=8），从n=0开始到8取完周期内的所有值。 令k = 1时，就是一个周期序列。当n从0依次加1到N-1时，序列取完周期内的所有值，这些值可以看成是Z平面上以原点为圆心的单位圆被N等分的交点的的坐标值。 k为其他数值时，的最小周期也许不是N，但是N一定是的周期。的性质很明显： 周期性：== 对称性：=== 正交性： 或者 一个周期为N的周期序列，在n=到n=+的范围内仅有N个序列值是独立的其中一个周期内的N个序列值足以表征整个序列的特征。而对于长度为N的有限长序列，只讨论n=0到N-1之间的N个序列值，其余皆为0。此二者在n=0到N-1单位内具有共同性。 对于周期为n的周期序列，定义n=0到N-1为主值区间，由主值区间N个序列值组成的有限长序列，称为的主值序列。 可以如下表示： （2-2） 为矩形序列，即： 上一过程称为取主值序列，有限长序列： 如果以N为周期进行延拓，则有： （2-3） 式2-2和2-3之间表明了周期序列和有限长序列之间的处理关系。即：周期序列可以去主值序列进行分析，然后对再周期延拓得到最后的处理结果。 周期延拓的时候，延拓周期和有限长序列的长度不同的时候，序列可能会发生混叠。若为M长的有限长序列，即： （2-5） 以N为周期进行延拓，得到周期序列： 再取的主值序列： （2-7） 关于使（2-5）和（2-7）是否一致的问题： 当N=M时，和是一致的，所以，周期延拓无混叠失真，主值序列和原序列一致相同。 当M/2=N=M时，此时会使得至少不仅含有，还叠加有。说明和是不一致的。因此，在M/2=N=M时会出现部分混叠失真，以下结论： 当N=M/2时，对是全混叠失真。 所以，在数字信号处理中通常取N=M，以避免错误或者进一步的处理。周期序列不满足收敛条件，不能进行Z变换和Fourier变换分析。 离散傅里叶级数（DFS） 连续的周期函数和离散的周期函数都可用傅里叶级数表示，所以不论连续周期函数还是离散周期函数都可用傅里叶级数表示。经过推倒，周期为N的周期序列的傅里叶级数与周期为N的复指数序列密切相关。有N个独立值，其离散傅里叶级数也只有N个独立分量。一个周期为N的周期序列的傅里叶级数的分析与综合对（正变换和反变换）可表示为： （2-9） 和 （2-10） 上两个式子是周期序列离散谱分析的数学方法，显然，离散傅里叶级数在频域上是一个周期为N的周期序列。由于、以及均是以N为周期的。因此，式中的n和k的值可以随机确定，只要取足N点即可。可表示为： 和 离散傅里叶级数（DFS）的性质 线性：，其中a、b为任意常数。 移位特性：和 周期卷积：若，则有， 周期序列的卷积也可用下式表示： （2-18） 式（2-18）说明对只要取够一个周期的卷积即可，周期卷积与m的起点无关，而且周期序卷积的结果仍是一个周期序列。 离散傅里叶变换（DFT） 有限长序列 的离散傅里叶变换对定义为： 和 上述两式均为非病态线性方程组，有唯一解。因此，长度为N的有限长序列的离散傅里叶变换仍然是一个N长的频域有限长序列，和由唯一对应的关系。 把一个有限长序列看成是周期序列的主值序列，就能利用周期序列的性质。的相应的周期序列的离散傅里叶级数为，它的主值序列即为，即存在： 可见，离散傅里叶变换和离散傅里叶级数有着固有的内在的联系，理论上是成立的。 同时长度为N的有限长序列可通过补0成为长度为M的有限长序列，亦即： 一般认为，补零并没有改变序列的本质，实际应用中也常常如此处理，但是的变换很大，此时的傅里叶变换应该为： 而 按照的定义，显然和是不相同的。因此，一个有限长序列可以进行大于其序列的任意长度的任意点数的离散傅里叶变换，具体的点数可根据实际需要进行选定，但是由于频率点的变化，离散傅里叶变换的结果一般是不相同的。 综上所述，的离散傅里叶变换与变换长度N的取值有