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反思错误，学会触类旁通 湖南祁东育贤中学 周友良 谭永长 421600 这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。高三复习，各类试题要做几十套，甚至上百套。有人把试卷看成是一张一张的网，每次考试都相当于在捕鱼。如果发现有鱼从渔网上漏掉，就要及时修好渔网，下次捕鱼时才不至于有鱼再从这个洞里漏掉。学习知识也是这样。有的同学做题只重数量不重质量，做过之后不问对错就放到一边。这种做法很不科学。做题的目的是培养能力，是寻找自己的弱点和不足的有效途径。俗话说“吃一堑，长一智”，多数有用的经验都是从错误中总结出来的，因此，发现了错误及时研究改正，并总结经验以免再犯，时间长了就知道做题的时候有哪些方面应引起注意，出错的机会就大大减少了。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写上评析，然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。在看参考书时，也可以把精彩之处或做错的题目做上标记，以后再看这本书时就会有所侧重。查漏补缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一反三”，及时归纳。做一道题你从不同角度想出5种方法，与做5道同类型的题用的时间可能差不多，前者的效果肯定比后者要好得多。高考碰到平时做过的陈题可能性不大，而解题所需的知识、方法和能力要求都不会超出大纲，都会在平时复习中遇到，关键是要能触类旁通。? 从近几年的高考试卷来看，对应试者的“能力要求逐年提高”。题海战术的功效明显下降，大量较少思考的重复训练，只能熟练、不能提高，对能力的发展帮助不大。著名数学教育家波利亚说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”。所谓的回顾，即我们现在说的反思。对解题思路、解题过程的反思，可以帮助我们快速找出错误，以便及时改正。对各类题型的反思，可从帮助我们总结、归纳和辨别、澄清与此题相关的问题，达到做一道题，会一类题的效果。那么应该反思些什么呢？可以从以下几个角度去考虑。 一思：解题方法优化吗？ 很多数学问题有多种解法，解题后要多角度思考，看是否还有其他解法，通过寻找新的方法，可以开拓思路，防止思维定势，及时总结出各类解题技巧，并养成“从优、从快”的解题方式。 例1 设是双曲线上的两个点，点是线段的中点，如果线段的垂直平分线与双曲线交于两点，那么四点是否共圆？为什么？ 分析 学生一般是这么解的：设，，则，两式相减化简可得，所以直线的方程为，联立双曲线，解得，，然后同理由直线和双曲线解得，，再有利用直线到直线的角的公式证明四边形的对角互补。 反思1：这样证明的方法当然是可以的，随意选择对角，具有很大的偶然性，而直线到直线的角的公式计算量过大。如果仔细分析两条直线的相互特征：直线是的垂直平分线，那么如果四点共圆，则线段必是此圆的直径，于是在选择对角互补证明时，就不会随意选择，而会利用，去选择证明，，从而有，这样就大大简化了计算。 反思2：既然已经分析出线段是此圆的直径，那么我们也可以证明线段的中点是此圆的圆心，即利用韦达定理求出点的坐标，再证明，这样的证明方法同样也大大简化了计算。 反思3：联想曲线系，要证明四点共圆，如果我们能够找到一个圆方程，而均满足即可。构造曲线系：，+=0。------①　得=即。经验证此时①确实是一个圆方程，即证。通过这样的反思，充分挖掘问题的实质，而不是就题论题，这有利于思维广阔性的培养。 二思解题思路严谨吗？ 解题中会受到题目中某些信息的主导和干扰，不能够周密地考虑问题，使解题过程偏离方向，造成误解。对解题思路的反思，能及时修正错误。 例2. 过点P（1，－2）作圆的切线，求切线方程。 错解：设过点P（1，－2）的切线方程为 则圆心（0，0）到切线的距离等于半径1， 即，解之得 则所求的切线方程为 反思：从结果上看，圆只有一条切线，但点P在圆外，应该有两条切线，上述解答不正确。究其原因，是还有一条斜率不存在的直线被弄丢了，这条直线不适合用点斜式方程。所以对直线方程的使用要分清类别，不能漏解。易知x＝1为圆的另一条切线方程。 例3：设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线L交椭圆于点A、B两点，O为标原点，点Ｐ满足，点Ｎ的坐标为，当Ｌ绕点Ｍ旋转时，求动点Ｐ的轨迹方程。 错解：直线L过点M（0，1），设其斜率为k，则L的方程为y=kx+1 ①②②记A（），B（），由题设可得点A、B的坐标为（），（）是方程组 的解。 ① ②② 将①代入②并化简得 所以， 于是 设点P的坐标为（x，y），则 消去参数k得：③ 所以点P的轨迹方程为 反思错解原因，在分析问题过程中，使用直线点斜式方程时，要考虑斜率是否存。由于学生对问题考虑不周，往往会遗漏某些过程或遗漏某解答，以上过程应补充：当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），