原子激发后发出的光.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 6 Quantum Physics II Atomic spectrum 原子激發後發出的光，可以使我們了解原子結構的動力性質。但令人驚訝地，原子所發出的光的波長並不是連續的，而是形成離散的譜線，稱之為原子光譜。 這個光譜可以了解為來自分立的能階之間的躍遷所發出： 這些能階可以一個自然數n來標記，能階的能量是反比於n平方： 這個公式成功地描寫了氫原子光譜，但顯然從電子的古典粒子圖像，完全沒有辦法解釋這個公式的原因。 Wave Equation 波與粒子的二重性，顯示電子同時具有兩個不相容的圖像，我們必須對這兩個圖像稍作修正，兩者才不會發生衝突： 電子是粒子，但此粒子的位置與動量不能同時精確測量。 電子是波，其性質隨時間的演化，以波函數來描述，只是此波函數無法觀察測量，一測量，電子就以粒子的型式出現。 量子力學中的粒子，它的動力行為，也就是它的性質隨時間變化的形式，是由波函數（Wave Function）來描述決定的。所有的波函數構成一個如向量空間一般的泛函空間。正如一般向量一樣，一個波函數可以是由兩個性質各自確定而彼此不相容的波函數疊加而成，這和古典的粒子非常不一樣。比如雙狹縫干涉實驗中到達屏幕的電子之波函數，就是由通過狹縫1及通過狹縫2（從古典粒子的角度來看兩者不互容）的兩個波函數疊加而成。 既然波函數是唯一可以預測計算的量，粒子的性質必須透過波函數隨時間的變化來研究。波函數的動力性質是由波方程式來決定，現在我們無法由波的介質組成結構（如繩子粒子之於繩波）來推導出，而只能用猜的。要猜測物質波的波方程式，唯一的指引就是物質波波長頻率與粒子動量能量的關係（翻譯表）： 對於一個自由粒子而言，能量與動量是有關係的： 這個關係也就給出了物質波波長與頻率的色散關係： 一般來說，波的色散關係是由波方程式給定，所以由此單頻率波的色散關係出發，或許可以猜出普遍的物質波波方程式。比如繩波的波方程式：，如果將正弦波代入，對空間微分兩次就可以製造出兩次波長反比：，對時間微分兩次製造出兩次頻率：，因此得到色散關係：，。如果你嚐試用同樣的方法來處理物質波的色散，會出現一個大問題，左邊的兩次波長反比比較容易，然而要製造出一次的頻率f，就不容易，因為cosine函數的微分是sin函數，所以正弦波波函數對時間的一次微分並不與自己成正比：。為了繼續使用上述的翻譯對應，我們需要一個函數，它的微分與函數自己是成正比，而且它隨時間變化又要具有震盪的性質。正如課堂上提過的，虛數的指數函數正是這樣一個函數。它也是一般波方程式的解，只是一般的波實數部與虛數部是分離而不相干的，所以並不需要這樣的解法。現在我們可以嚐試允許物質波的波函數成為複數，然後將單頻率波以虛數的指數函數表示為： 如此則波函數的時間一次微分是正比於自己，比例常數即正比於一次的頻率，只是此比例常數是虛數： 波函數對位置的一次微分也是正比於自己，比例常數與波長反比： 有了這樣的工具，物質波波長與頻率的色散關係，便很容易可以翻譯成波方程式： ie 就直接了當地翻譯為： 假設同樣的精神，也適用於受位能影響的粒子，那麼能量與動量的關係寫成： 物質波波長與頻率的色散關係： or 如此，由色散關係很容易得到一個波方程式： 這就是薛丁格方程式。此方程式不直接寫出頻率與波長，因此我們預期可以適用於任何單頻率波以及他們的線性疊加，因此也就適用於任何的物質波。這個方程式最重要的特徵，在於它的係數是虛數，因此物質波的解也一定是複數。 測量期望值 物質波是複數，因此不可能測量。但波的強度與重複實驗（如雙狹縫干涉）中粒子的分布一致，因此波恩大膽地假設，物質波的強度與機率成正比。複數波的強度是以波函數絕對值得平方來計算：，此處的P稱為機率密度：就是在 x 與 x+dx 之間發現該粒子的機率。 由以上的假設可以了解，量子力學的世界與古典物理的世界非常不同。在古典物理中，一個粒子或一個系統在任一時刻有一定的狀態，若處於完全相同的狀態，無論作那一種物理測量，得到的結果是確定的，也就是重複測量時得到的結果一定相同。但在量子力學的世界中，即使粒子處於完全相同的狀態，意思是波函數完全相同，但物理測量的結果卻不一定相同，出現哪一個結果是由機率決定，有如擲骰子一般，位置的測量就是最明顯的例子。因此物理學能預測的是重複實驗後，所得結果的平均值，這個平均值術語稱為期望值。 位置的期望值很容易計算： 。 如此，其他物理量如果是位置的函數，例如位能，它的期望值也很容易算： 動量的期望值比較難想像，最直覺的猜想是：，但這只對單一波長也就是單一動量的波函數才是對的，對一般波函數並不適用。我們必須將上式積分中的p作一點變形。如果波函數是正弦波，那麼上式可以改寫成，而一般的波函數如同傅利葉分析一樣都