二次域的Gauss猜想.docVIP

二次域的Gauss猜想 从唯一分解谈起 整数有一个非常重要的性质，这就是如下的唯一分解定理，也称算术基本定理。 定理。除了素因子的次序之外，每个大于1的整数都能用唯一一种方式表示成若干个素因 子的乘积。 这里有几点要加以说明。 除了数1以外，所有的正整数被分成了两类——素数和 合数，素数就是只能被 数1和它自己整除的正整数；而合数则至少有两个（不一定不同的）素因子。 按照这个定 义，如果不硬性排除掉数1的话，那么数1显然也 满足成为素数的条件：因为它也只能被 数1和它自己（它自己也就是数1）整除。那么为什么数学家要把数1排除在素数之外 呢？理由只有一个：那就是为了保证素数分解的唯一性定理能够成立，在这个两难的问题 中，我们只有放弃1是素数这一选择。 定理中的唯一性实际上有两重含义。其一，该整数能被哪些素数整除，（除了 素因子的次序外）是唯一确定的；其二，每个素数能整除该数的最大幂也是由该数所唯一 确定的。例如，我们有，能整除数12的素数只有2和3，这是唯一确定的；此 外，2和3能整除数12的最大幂分别是2和1，这也是由数12所唯一确定的。 即使对数的乘法而言，也并不是在任何数的集合中都有唯一分解定理成立。让 我们来看两个典型的例子： 这是德国数学家D.Hilbert给出的一个著名的例子。 令表示所有被4除余1的正整数组成的集合 ， 在集合中可以与在正整数集合中一样来定义“素数”和“合数”： 定义。若，，且它在中只能被1和自己整除，则称之为中的“素 数”，若它在中至少有两个（不一定不同的）“素数”因子，则称之为中的“合数”。 例如，正整数集合中原来所有的素数只要在集合中，那么它在集合中都仍 然是“素数”，如等等；此外，在集合中也出现了一些在正整数集合 的素数集合中 所没有的新的“素数”，如等等。 下面考虑数，显然它在集合中。然而对于中的这个正整数，却存在中的 “素数”和，使得同时有“素因子”分解式 和 成立（请读者自行验证：在中数和都是“素数”）。这表明在集合中不可能 有唯一分解定理成立！ 令是由所有形如的复数作成的集合，这里和是任意整 数，即定义 。 第一步，先在集合中定义“整除性”这一概念：对于集合中任意两 个复数 和 （其中和不同时为零），若在中存在一个数，使得有 成立，则称在集合中能整除；称是的倍 数，而称是的约数。若是的约数，且有 ， ， 则称是的非显然约数，而和均称为是的显然 约数。下面来给出集合中的不可约数的定义。 定义（不可约数）。设是集合中的一个数， ， ， 且它没有非显然约数，则称它是集合中的一个不可约数。 例：，，，等均为集合中的不可约数。 现在我们可以在集合中给出唯一分解定理不成立的例子了。对于数 ，容易看出有以下两个不同的分解式成立： ，