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7.5　一般线性方程组 课题： 一般线性方程组 目的要求：1．掌握矩阵秩概念 ２．掌握线性方程组解判定方法； ３．掌握齐次线性方程组的解法。 重点： 线性方程组解判定方法 难点： 线性方程组的消元法 教学方法： 讲练结合 教学时数： 4课时 教学进程： 一、矩阵的秩 矩阵的秩是矩阵的重要特性之一，它在线性方程组解的讨论中起着关键的作用． 定义：矩阵A的阶梯形矩阵所含非零行的行数称为矩阵A的秩，记为r（A）． 根据这个定义，可以得出求矩阵A的秩的一般步骤： 用矩阵的初等行变换把A化为阶梯形矩阵； 数一下阶梯形矩阵中有多少个非零行． 例1 求矩阵的秩． 解 所以r（A）=3． 例2 求矩阵的秩． 解 所以r（B）=3． 二、 一般线性方程组的解 一般的线性方程组，它的未知数个数与方程的个数可以相等也可以不相等．对于n个未知数n个方程的线性方程组，当它的系数行列式不为零时，可以有以下三种求解方法：⑴克莱姆法则；⑵逆矩阵；⑶矩阵法．其中矩阵法还能用来求解未知数个数与方程个数不相等的线性方程组．本节将运用矩阵法来讨论一般的线性方程组的解．先考察先面的两个例子． 例3 讨论线性方程组的解． 解 　　　　 ① 最后一个矩阵对应于方程组：，因此有． 由于当x3和x4分别任意取定一个值时，都可得到方程组的一组解，因此该方程组有无穷多组解． 例4 讨论方程组的解． 解 　　　　 ② 最后一个矩阵对应于方程组：，其中第三个方程0=3是不可能成立的．因而方程组无解． 从以上两个例子最后得到的两个矩阵①和②来看，它们的左上角都是一个单位矩阵，以下各行中除去最后一列可能有非零元素（如矩阵②）外，其余元素均为零． 一个含有n个未知数的m个方程的线性方程组 　 ③ 它的增广矩阵一般经过适当的行初等变换，它的左上角会出现一个r阶的单位矩阵（r≤n），而在以下（m-r）各行，除去最后一列可能有非零元素外，其余的元素均为零．即增广矩阵经过行初等变换后可化成以下形式，其中r≤n： 　　　　④ 为说明方便起见，先介绍方程组的相容性的概念． 定义 若方程组③有解，则称方程组③是相容的；若方程组③无解，则称方程组③是不相容的． 下面分别按矩阵④出现的各种不同情形来讨论对应的线性方程组的解． 若cr+1=0，则线性方程组③的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且都等于r（r≤n），则线性方程组③是相容的．当rn时方程组有无穷多组解，当r=n时方程组只有唯一解． 2． 若cr+1≠0，这时线性方程组③的系数矩阵的秩为r，而增广矩阵的秩为r+1．所以这个线性方程组相应地化为 ． 因为cr+1≠0，所以上述方程组中最后一个方程不能成立，即方程组是不相容的． 归纳上述讨论，得到如下两个定理： 定理1 线性方程组③相容的充分必要条件是它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等． 定理2 线性方程组③是相容的，则当系数矩阵的秩r n时，方程组有无穷多组解；当系数矩阵的秩r=n时，方程组的解是唯一的． 例5 判别方程组的相容性． 解 因为 所以R（A）=R（）=3，即方程组是相容的． 例6 当a取什么值时，方程组有解，并求出它的解． 解 因为 所以当a≠0时，R（A）=2，R（）=3，方程组无解；当a=0时，R（A）=R（）=2，方程组有解．这时，对应的方程组为，即，其中x3与x4的值可以任取，令x3=c1，x4=c2，则方程组的解为，其中c1与 c2为任意常数． 三、 齐次线性方程组 在线性方程组③中，若b1=b2=…=bm=0，则方程组③称为齐次线性方程组． 在齐次线性方程组　　　　 ⑥ 中，显然它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是相等的．因此根据定理1可知，齐次线性方程组总是有解的．根据定理2，可以得到以下定理： 定理3 设齐次线性方程组⑥的系数矩阵A的秩R（A）=r． ⑴若r=n，则方程组⑥只有零解； ⑵若rn，则方程组⑥有无穷多组非零解． 对于n个未知数，n个方程的齐次线性方程组，还可由定理3推得以下的定理： 定理4 齐次线性方程组　　　　⑦ 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式． 例7 解方程组． 解 计算系数行列式： 所以方程组只有唯一的一组零解，即x=y=z=0． 例8 解方程组． 解 计算系数行列式： 所以方程组有无穷多组解．为此写出它的增广矩阵，并作行初等变换如下： ． 这时，对应的方程组为．设z=c，则方程组的解为． 小结本讲内容：强调1．掌握矩阵秩概念 ２．掌握线性方程组解判定方法； ３．掌握齐次线性方程组的解法。 作业：　　　Ｐ239　1；2；3。