73有理函数的不定积分.docVIP

§7.3有理函数的不定积分 代数的预备知识 计算有理函数的不定积分，要用到一些代数的相关知识。 有理函数的一般形式：，其中和都是多项式。即 若的次数大于或等于的次数（即）——有理假分式 若的次数小于的次数(即)——有理真分式 一个重要结论：任何有理假分式，通过多项式的除法，都能化为一个多项式与一个有理真分式之和。即 =+ 例如，， 可见，任何有理函数的不定积分，都可以化为多项式的积分和有理真分式的不定积分。而多项式的不定积分很简单，因此只要讨论有理真分式的不定积分的计算方法即可。 先介绍两个定理： 定理1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式总那个可以唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积： 如 定理2 （分项分式定理） 由分项分式定理，有理真分式总能表为若干个简单分式之和。 例如，， 将有理函数分项分式后，有理函数的积分问题就归结为 和 这两类积分的问题。因此，将有理函数分成分项分式对我们计算不定积分可以起到化繁为简的作用。 如何将一个有理假分式进行分项分式呢？通过例子说明。 例1．将分成分项分式 解1：将分母分解因式： 根据分项分式定理，此分式可化为 这样的形式。如何求A、B？用待定系数法。上式两边都乘以，得 比较两边对应项的系数，得 由此可得 所以， 解2：将分母分解因式： 根据分项分式定理，此分式可化为 这样的形式。如何求A、B？用待定系数法。上式两边都乘以，得 令，得；令，得 例2．将分式分成分项分式 解：将分母分解因式： 因此可分成分项分式 两边同乘 ，得 比较两边对应项的系数，得 解之，得 A =1 B =2 C =-1 D =-1 E =1 于是， 有理函数的不定积分 主要是解决 和 这两类不定积分的问题。 第一类很简单： 第二类比较复杂： 例 1. 求不定积分 解：将被积函数分成分项分式。 两边同乘 ，得 比较两边对应项的系数，得 解之，得A = 3，B = 5，于是 例2．求 解：由于 在这里，关键是计算不定积分，方法是“凑微分”，但要用一点点技巧。