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7 实二次型 7.1 内容提要 7.1.1 二次型 1．二次型的定义 含个变量的齐次函数 称为二次型 2．二次型的矩阵及秩 利用矩阵，二次型可表为 其中是对称矩阵，称为二次型的矩阵，的秩称为二次型的秩。 3．二次型的标准形 只含平方项的二次型称为二次型的标准形。 4．二次型的规范形 标准形的系数为1，-1，0的二次型称为的规范形。 5．化二次型为标准形的方法 （1）配方法； （2）正次变换法。 6．正定二次型 （1）定义：若二次型对任何都有（0），则称为正定（负定）二次型，矩阵称为正定（负定）矩阵。 若对，均有（）则称二次为半正定（半负定）二次型，相应地称矩阵为半正定（半负定）矩阵。 （2）惯性定理 设实二次型，它的秩为，若有两个实可逆变换及，使 则中正数的个数与中正数的个数相等。 7.1.2 合同变换与矩阵的合同 1．定义：、都是n阶矩阵，若存在可逆阵，使得，则称与合同，记为，称为合同变换。 2．性质 （1）反身性：； （2）对称性：若，则； （3）传递性；若，则。 3．有关合同的结论 （1）数域上任一对称阵合同于一个对角阵； （2）两个同阶实对称阵合同它们有相同的秩和正惯性指数。 7.2 重点 1 二次型； 2 矩阵正交的判定； 3 矩阵正定的判定。 正定（负定）二次型的判别法（充要条件） ① 的标准形的个系数全为正（负）； ② 的正（负）惯性指数为； ③ 的矩阵的特征值全大于（小于）零； ④ 的矩阵的各顺序主子式全大于零（奇数阶小于零，偶数阶顺序主子式大于零）； ⑤ 存在可逆阵，使。 7.3 典型习题 7.3.1 化二次型为标准形（规范形） 例1 设矩阵 （1）已知的一个特征值为3，求； （2）求矩阵，使（）T（）为对角阵 解：（1）由特征值的定义有 解得 （2）∵，又是对称阵，即问题转化为求合同变换所对应的矩阵，使为对角阵 又 此时有两种方法可做 （一）配方法：考虑二次型 令 得 ∴则有 （二）正交变换法 ① 先求的特征值，得到， ② 求特征向量为 ，， 显然正交，故只须单位化得 ，， 的特征向为，单位化为 令 则 说明二者的不同之处在于特征值。 例2 已知二次型的秩为2，且是的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是 解： 由从是的特征向量，有 即 解出得 ， 从，知，于是是的特征值。再由有，知是的特征值。 因此，在正交变换下二次型的标准形是： 例3 已知二次型 的秩为2 求参数及此二次型矩阵的特征值； 解：（1）二次型的矩阵为 ∵∵解得 故 故求得特征值为0，4，9，从而一定可求得正交矩阵，使 ，即，使 例4 设二次型 1. 求二次型的秩； 2. 求正交变换Q，使二次型的标准形； 3. 当时，求的全部解。 解 1. 二次型的秩为2 2. 记二次型的矩阵为 ∴ ， 又时，特征向量； 时，特征向量，将单位化后得，对，施行施密特正交化后得， ∴ 正交变换矩阵即为所求。 且有，使。 3. 当时，二次型，当时，有，即，则为其基础解系，故全部解为。 例5 已知实二次型经正交变换可化为标准形，求a的值。 解 法一 的矩阵为特征值为6，0，0。又 知 ∴ 法二 由 ∴ 从而 解得 又代入知，而代入，，从而。 7.3.2 二次型及其矩阵是否正定的判别与证明 例6 二次型正定，则t = 解 二次型矩阵 由二次型正定知，的顺序主子式应全大于零， 即 解不等式知 即为所求 例7 证明：若是正定矩阵，则也是正定矩阵。 证明： ∵正定，∴ 故，从而是对称阵。 下面证正定。 方法一： 设的特征值为，由正定知，，而的特征值为，由于，故正定。 方法二：A正定，故存在可逆阵，使 ∴ 从而知正定。 方法三：∵正定，∴可逆阵，使。 故 从而知 正定。 例8 设A为实距阵，且，证明正定。 证明：∵，故是对称阵。 又对，由是距阵，知仅有零解，即，∴ , 从而知是正定矩阵。 7.3.3 矩阵的等价、相似、合同、正交 例9 设 ?? 问：（1）当t为何值时，存在可逆矩阵P、Q，使PAQ?=B ??（2）当t为何值时，存在可逆矩阵R，使 ??（3）当t为何值时，存在可逆矩阵W，使 解 （1）存在可逆矩阵P、Q，使PAQ?=B， 即A与B等价，而A与B等价的充要条件是 因 故，此时t=?0，时，存在可逆矩阵P、Q，使PAQ?=B （2）存在可逆矩阵R，使，即 而的充要条件是且、的正惯性指数相等 因时， 又 ，故有两个