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解不定方程的常用技法
6 中 等 数 学
解不定方程的常用技法
江 厚 利
(安徽省安庆市第一中学 ,246003)
(本讲适合高中) 从而 , x = 18 ,y = 2 .
不定方程是指未知数的个数多于方程的 结合方程的对称性知 , 方程有两组解
( ) ( )
个数 ,且它们的解受到某种限制的方程. 本文 18 ,2 , 2 ,18 .
主要介绍解非一次的不定方程的常用技法.
2 因式分解法
1 奇偶分析法
将方程的一边化为常数 ,作质因数分解 ,
从讨论未知数的奇偶性入手 ,一方面可 另一边含未知数的代数式也作因式分解. 考
缩小未知数的取值范围 ,另一方面又可用 2 n 虑各因式的取值情况 ,可将方程分解成若干
( ) 个方程组来求解. 这种方法的目的是增加方
或 2 n + 1 n ∈Z 代入方程 ,使方程变形为更
便于讨论的等价形式. 这种方法的适用范围 程的个数 ,这样就有可能消去某些未知数 ,或
很广. 确定未知数的质因数 ,进而求出其解.
2 2 ( )
例 1 求方程 x + y = 328 的正整数解. 例 2 求所有的正整数组 x ,y ,z ,使得
≠ y 是质数 ,y z ,3z ,且 x3 - y 3 = z2 .
讲解 :显然 x y ,不妨设 x y 0 . 因为
328 是偶数 ,所以 , x 、y 的奇偶性相同. 从而 , ( 1999 ,保加利亚数学奥林匹克)
x ±y 是偶数. 讲解 : 由题意得
令 x + y = 2 u1 , x - y = 2 v1 ,则 u1 、v1 ∈ ( x - y ) [ ( x - y ) 2 + 3 xy ] = z2 . ①
Z ,且 u1 v1 0 . 所以 , 因为 y 是质数 ,且 y z ,3z ,结合式 ①知
( x ,y ) = 1 , ( x - y ,3) = 1 . 则
x = u1 + v1 ,y = u1 - v1 .
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