9.2二重积分的计算法.ppt

第九章 重积分 § 9.2 二重积分的计算法 本节内容 *三、二重积分的换元法 一、直角坐标系中二重积分的计算 二、极坐标系中二重积分的计算 § 9.2 二重积分的计算法 一、直角坐标系中二重积分的计算 积分区域 D 的类型 称D为 X - 型区域 § 9.2 二重积分的计算法 称D为 Y - 型区域 § 9.2 二重积分的计算法 例1. 将区域D写成X - 型与Y - 型 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解 将D写作X - 型区域, 则 将D写作Y - 型区域, 则 § 9.2 二重积分的计算法 例2. 将区域D写成X - 型与Y - 型 其中D 是其中D 是抛物线 及直线 所围的闭区域. 解 将D写作Y - 型区域, 则 将D写作X - 型区域, 则 和 § 9.2 二重积分的计算法 设曲顶柱的底为 任取 平面 截面积为 截柱体的 § 9.2 二重积分的计算法 故曲顶柱体体积为 记作 § 9.2 二重积分的计算法 同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 记作 § 9.2 二重积分的计算法 说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X - 型域或Y - 型域 , 则 § 9.2 二重积分的计算法 例3. 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X - 型区域, 则 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则 § 9.2 二重积分的计算法 例4. 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 § 9.2 二重积分的计算法 例5. 计算 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X - 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. § 9.2 二重积分的计算法 例6. 交换下列积分顺序 解: 积分域由两部分组成: 视为Y - 型区域 , 则 § 9.2 二重积分的计算法 例7. 计算 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, § 9.2 二重积分的计算法 对应有 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在 内取点 及射线 ? =常数, 分划区域D 为 二、极坐标系中二重积分的计算 § 9.2 二重积分的计算法 即 § 9.2 二重积分的计算法 设 则 特别, 对