选修2-1第二章2.4.2抛物线的几何性质学案.docVIP

抛物线的几何性质学案 教学过程： 一、复习引入： 1．抛物线定义： 图形 方程 焦点 准线 平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 2．抛物线的标准方程： 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即 不同点：(1)图形关于轴对称时，为一次项，为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，为二次项，为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在轴（或轴）正向时，焦点在轴（或轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在轴（或轴）负向时，焦点在轴（或轴）负半轴时，方程右端取负号 二、讲解新课： 抛物线的几何性质 1．范围 因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性 以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点． 4．离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1． 对于其它几种形式的方程，列表如下： 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 轴 轴 轴 轴 注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线 通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率 三、讲解范例： 例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形． 练习：根据下列条件，求抛物线的方程， （1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8． （2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点． （3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5． 例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置． 例3 过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点， 求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切． 例4.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长. （思考用不同方法求解） 变式训练：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于,两点，若，求。 点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长： 例　 =2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(，)、B()(图2-34)． 例6:已知的一个顶点为抛物线=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上，且=90 （1）证明直线AB必过一定点； （2）求的面积的最小值。 五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等 抛物线的几何性质同步练习（一） 一.选择题 1、抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为（ ） A、 B、 C、8 D、-8 2、点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　) A．x2＝16y　　　　B．x2＝8yC．x2＝±8y D．x2＝±16y y2=4x上任意一点Q,点P（a,0）都满足|PQ||a|,则a的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 4、物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ） A、 B、 C、 D、0 5、抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则P的值为（ ） A、 B、 C、2 D、4 6、知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则 最小值为（ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 7、曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（　　） A．B．C．D． 若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是_____