概率论课件--3-1 数学期望17p.pptVIP

第三章 随机变量的数字特征(17) 第三章 从上一章的讨论中我们知道: 分布函数可全面地描述随 机变量的统计规律性. 然而在实际问题中， 往往不需要全 面考查随机变量的概率分布情况, 只要知道随机变量的某 些特征就够了. 例如, 评价某班概率统计的考试成绩时, 要知道该班的平均成绩 据就够了. 平均成绩高, 偏离度小, 就认为该班学习成绩好. 只 以及平均成绩的偏离度这两个数 我们把反映随机变量某些方面特征的参数 量的数字特征. 其中反映随机变量取值集中程度的数字 特征称为数学期望, 反映随机变量取值分散程度的数字 特征称为方差. 数学期望与方差是随机变量的两个最重要的数字特征. 称为随机变 第三章 数 学 期 望 第 一 节 一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、二维随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质 例1. 甲、乙两射手, 甲: 击中环数 X 概率 8 0.3 9 0.1 10 0.6 乙: 击中环数 Y 概率 8 0.1 9 0.6 10 0.3 问哪个射手技术较高? 解: 虽然分布律完整地描述了随机变量的概率分布, 但我 们很难一眼就看出甲、乙两个射手哪个技术更好些. 一 . 离散型随机变量的数学期望 他们射击中靶的分布律分别为: 若让甲、乙各射击N 次, 则他们击中的总环数大约是: 甲: 乙: 平均起来, 甲每次击中9.3环, 乙每次击中9.2环, 故甲的射击技术略高于乙. 1 .离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量 X 的分布律为 定义1 若级数 绝对收敛, 则称级数 的和 为 X 的数学期望, 简称期望或均值. 记为: 注意: 这里要求级数 绝对收敛 收敛) 是为了保证级数 的和与其各项的次序无关, 从 而使它恒收敛于同一确定数值 2 . 离散型随机变量函数的数学期望 对于随机变量 X 的函数 g ( X ) 的数学期望有如下结论: (1) (即 如果 绝对收敛, 则有 其中 (2) 设 X 的分布律为 例1 X −3 0 1 5 pi 0.1 0.2 0.3 0.4 求 及 解: 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品五 种, 相应的概率分别为0.7 , 0.1 , 0.1 , 0.06及0.04, 其产值 分别为6元, 5.4元, 5元, 4元及1元. 求产品的平均产值. 解: 产品产值X 是一随机变量, 它的概率分布如下: X 6 5.4 5 4 1 pi 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04 则由式(1)得产品的平均产值(单位：元)为 例2. 定义2 设连续型随机变量X的概率密度函数为 并且广义积分 绝对收敛, 则称此积分值为 X的数学期望, 记为 这里要求 绝对收敛 收敛), 其理由与离散型要求级数 绝对收敛类似. 二 . 连续型随机变量的数学期望 (3) (即 1 .连续型随机变量的数学期望 对于连续型随机变量 X 的函数 有如下结论: 若广义积分 绝对收敛, 则 其中f ( x ) 为 X 的概率密度函数. 的数学期望存在, 且有 2 . 连续型随机变量函数的数学期望 (4) 设随机变量X 的概率密度函数为 例3. 求 解: 由公式(3),有 三 . 二维随机变量函数的数学期望 设 是二维随机变量, 为二元连续函数, 则 是一维随机变量, 也可对其求数学期望. 1. 二维离散型随机变量函数的数学期望 设二维离散型随机变量 的联合分布律为 若 绝对收敛, 则 的数学期望存在, (5) 且有 设二维连续型随机变量 的联合概率密度函数为 若 绝对收敛, 2. 二维连续型随机变量函数的数学期望 则 的数学期望存在, 且有 特例 (6) (7) (8) 设 的联合概率密度函数为 求 解: 例4. 性质1. 设 为常数, 则 证: 把常数 看成退化成单点的离散型随机变量, 其分 由定义即得 设随机变量X的数学期望存在, 为常数, 则有 证: 设 的概率密度函数为 则 四 . 数学期望的性质 性质2. 布律为 证毕. 证毕. 的联合概率密度函数为 的边缘概率密度函数分别为 推论: 证: 设 性质3. 设随机变量X和Y的数学期望都存在, 则有 则有 证毕. 的边缘概率密度函数分别为 则由X 与Y 的 推论: 当 相互独立时, 设随机变量 X 与Y 相互独立, X 与Y 证: 设( X , Y ) 的联合概率密度函数为 f (x , y ) , 性质4. 相互独立性有 从而有: 有 则有 证毕.