概率论课件--4-3 正态分布16p.pptVIP

* 第四章 第三节 正态分布(16) 二、正态分布的性质 三、正态分布的数学期望与方差 一、正态分布的概念 在自然界和人类社会生活中有大量的随机变量 或近似服从正态分布. 例如: 产品的质量、 人的身高、 某 某市一天的用电量… 等等. 正态分布是一种常见的重要的概率分布, 这是因为若 一个随机变量是由一些相互独立的微小偶然因素的总合 构成的, 而每一个偶然因素对总合的影响是均匀微小的, 那么这个随机变量就服从或近似服从正态分布. 一、正态分布的概念 都服从 班学生的考试成绩、 定义: 如果随机变量 X 的概率密度函数为 其中 是常数且 , 则称随机变量 X 服从参数 为 的正态分布, 记为 显然 且 正态分布的分布函数为 特别地, 当 时称 X 服从标准正态分布， 记为 其概率密度函数和分布函数分别记为 即有: 二、正态分布的性质 1、正态分布的分布曲线关于直线 对称（见图）, 这表明， 是正态分布的中心. 如果固定 而改变 的值, 则分布曲线沿 x 轴向右或向左平移, 其形态不变, 正态分布的分布曲线的位置完全由参数 决定. 可见 2、如果固定 而改变 , 由于概率密度函数 在 取得最大值 可知当 越小时图形 变得越尖; 反之，当 越大时图形变得越平缓. 的值刻画了 X 取值的分散程度, 越小，取 值分散程度越小, 越大，取值分散程度越大. 因此, (见图) 3. 正态分布的分布曲线以 x 轴为渐近线, 4. 证: 令 注: 当 时, 即有 则 5. 证: 为计算方便，已编造 的数值表(书末附表3)供查阅. 例1 设随机变量 试求： (1) （2） (3) 解: (1) (2) (3) 例2. 某地区的月降水量服从 (单位：厘米) 的正态分布, 不超过50cm 的概率. 求从某月起连续10个月的月降水量都 解: 设 X ：该地区的月降水量, 则 再设 A ：月降水量不超过50cm， 则 P{连续10个月的月降水量都不超过50cm} 所以, 另外，当 时，由性质4不难得到 内, 此外还可以看出, 这就是概率统计中著名的“3?规则”, 即服从正态分布 的随机变量 X 的取值约有99.7%落入区间 仅有0.3%左右落在这个区间之外. 若? 越小, X 的取值就越集中. （2）若 X 与 Y 相互独立, 则 从而, 组合 关于正态分布还有以下结论成立(证明从略) : （1）若 则对任意常数 a，b， 两个相互独立且服从正态分布的随机变量的线性 仍服从正态分布( n 个随机变量也有类似结论). 三、正态分布的数学期望和方差 设 其概率密度函数为 则 即