微分方程建模11.pptVIP

数学建模------- 主要内容 微分方程建模是一种重要的数学建模方法，在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。尤其是在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。 1. 根据已知规律直接列出方程 ?? 根据数学、物理、力学、化学、生物学等学科中已有的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，放射性物质的放射性规律等等，这些都涉及到函数的变化率问题，因此可根据相应的规律直接列出微分方程。 3.模拟近似法 在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，对一些现象的规律性目前还不是很清楚，了解并不全面，应用微分方程模型进行研究时，可根据已知的一些经验数据，在不同的假设下去模拟实际现象．对如此所得到的微分方程进行数学上求解或分析解的性质，然后再去同实际作对比，观察分析这个模型与实际现象的差异性，看能否在一定程度上反映实际现象，然后对其解答做出解释。 思考题 一圆形小岛，半径为R，一只狗位于岛 心，以V1的速度追逐一只刚登上到的狼，狼以 V2的速度绕小岛的圆周逃跑，在追逐的过程 中，狗、狼、圆心始终在同一条直线上，问狗 能否追上狼，当狗追上狼时跑过的路径？ (1.6) 由Taylor展开式，在△t 这段时间内火箭质量减少 这个减少的质量实际上是火箭燃料燃烧喷出的气体的质量。 设喷出的气体相对于火箭运动的速度为u（u为常数），则气体相对于地球运动的速度为 即t时刻火箭动量等于 时刻火箭动量加上 时刻转换到气体上去的动量。如图1.2所示。 由动量守恒定律，有 (1.7) ，并令 对(1.7)式两端同除以 取极限得 (1.8) 这是一个具有指导意义的式子。 (1.8)式左端表示火箭所受的推力T。 令 得 即是说，推力等于燃料消耗的速度与气体相对于火箭运动速度的乘积。 将(1.8)式改写为 u为常数，积分上式得 是火箭初始质量， (1.9) 是 t = 0 时的速度， (1.9)式的结果表明火箭速度变化仅依赖于两个因素： （1）喷出的气体相对于火箭的速度 u（已假定为常数）； （2）t 时刻火箭质量 m(t) 和 t=0 时刻火箭质量 m0 之比。 这就为设计火箭时提高火箭速度指出了正确的方向： （1）尽量提高火箭燃烧时产生的气体喷出的速度 u，这从燃料上想办法（如制造液体燃料、固体燃料、改变燃料构成成分等）。 （2）尽量减少在 t 时刻火箭的质量 m(t)，以增大 采用以上两种方法可提高火箭的速度，为此有必要计算火箭在飞行过程中质量的变化。 的比值，从结构上想办法。 三、火箭系统质量的计算 火箭系统质量由下列部分组成： （2）燃料质量 （3）结构质量 首先考虑简单情形：设所有燃料全部耗尽，只剩下净载质量和结构质量 然后净燃料仓和发动机丢弃，只剩下净载体。 （1）净载质量 （如卫星等）； （发动机和燃料仓质量）。 由(1.9)式净载体将以速度 运动。 (1.10) 在 中应占有一定的比例，在现有技术条件下，要使燃料仓与发动机的质量和小于所载燃料的1/8和1/10是很难做到的。设 (λ为常数) 一般来说，结构质量 即结构质量为燃料与结构质量和的λ倍，代入(1.10)式，得 对于给定的u值，当净载质量 由此可以得出一个重要的结果： 时 （即火箭不携带任何东西），火箭所能达到的最大速度为 (1.11) (1.12) 已知 u=3km/s，如果取λ=0.1，则上式中 前面(1.5)式推出卫星要进入圆形轨道，火箭末速度为7.6km/s，而刚才推导的火箭速度是在假定忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情况下，最大速度才7km/s。由此得出，单级火箭是不能用于发射卫星的。 v ≈7km/s 由以上分析还可以发现，该火箭模型的缺点在于发动机必须把整个沉重的火箭加速到底，但是当燃料耗尽时，发动机加速的仅仅是一个空的燃料仓，作了许多无用功。因此，有待改进火箭的设计。 设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用部分，显然效率会高一些，如图1.3所示。 表示丢弃的结构质量， 在图1.3中 表示燃烧掉的燃料喷出的气体质量。 （总丢弃质量等于丢弃的结构质量加上燃烧掉的燃料质量）。 设在 t 到 时间内，把总丢弃质量当作1 把丢弃的结构质量当作λ (0λ1) ，则燃烧掉的燃料质量为(1-λ) 。