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全等三角形的判定 （SAS） 我们知道，如果△ABC≌ △A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等，即 AB=A′B ′， BC=B′C′， CA=C′A′ ∠A= ∠A′， ∠B= ∠B′， ∠ C=∠C′ 这六个条件，就能保证△ABC≌ △A′B′C′（图11.2-1）。如果△ABC和△A′B′C′满足上述六个条件中的一部分，那么能否保证△ABC与△A′B′C′全等呢？ 本节我们就来讨论这个问题 探究1 先任意画出一个三角形△ABC，再画出一个三角形△A′B′C′，使A′B ′=AB，B′C′=BC，∠A′=∠A（即使两边和它们的夹角对应相等），再把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ 看书的第九页告诉 我们画△A′B′C′，你是这样画的吗？探究1的结果反映了什么规律？ 由探究1可以得到判定两个三角形全等的一个方法： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或者“SAS”） 用符号语言表达为： 在△ABC与△A′B′C′中 AB=A′B ′，∠A= ∠A′，BC=B′C′ ∴△ABC≌ △A′B′C′ 例1、如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA.连接BC并延长到E，使CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离.为什么？ 分析：如果能证明△ABC≌△DEC ，就可以得出AB=DE. 在△ABC和△DEC中，CA=CD , CB=CE .如果能得出∠ACB=∠DCE， △ABC和△DEC就全等了 证明： 在△ABC和△DEC中 CA=CD ∠ACB=∠DCE CB=CE ∴△ABC≌△DEC（SAS） ∴AB=DE 例题推广 已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD 。 问AD=CD， BD 平分∠ ADC 吗？ AB=CB ∠ABD=∠CBD BD=BD ∴△ABD≌△CBD（SAS） ∴AD=CD ∠ADB=∠CDB 即BD平分∠ADC 由前边两个题目可以看出： 因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决。 探究2 我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，由“两边及其中一边的对角对应相等的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？ 这说明：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。 例: 已知有4个三角形，它们有如下的关系： A1B1＝A2B2＝A3B3＝AB， ∠B1＝∠B2＝∠B3＝∠B， B1C1＜B2C2＝BC＜B3C3 ． 问△ABC与其余三个三角形中的哪一个全等． 【解】我们把甲、乙、丙三个三角形移动后覆盖在△ABC上，使得A1B1，A2B2，A3B3和AB重合，∠B1、∠B2、∠B3和∠B重合，C1和C2、C3将落在直线BC上，其中： 由于B1C1＜BC，所以点C1在C的左侧，可知△A1B1C1和△ABC不全等； (2)由于B3C3＞BC，所以点C3在点C的右侧，可知△A3B3C3和△ABC也不全等； (3)由于B2C2＝BC，所以点C2和点C重合，于是B2C2与BC重合，A2C2和CA也重合，则可知△A2B2C2与△ABC重合，即 △A2B2C2≌△ABC 练习 1、如图，B点在A点的正北方向。两车从路段AB的一端A出发，分别向东、向西进行相同的距离，到达C、D两地。此时C，D到B的距离相等吗？为什么？ 【证明】∵在△BAD和△BAC中， BA=BA ∠BAD=∠BAC AD=AC 则△BAD≌△BAC (SAS). 即BD=BC 2、如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC， ∠B=∠C，求证： ∠A=∠D 【证明】∵BF=BE+EF CE=CF+FE 而BE=CF ∴BF=CE 在△ABF和△DCE中， BF=CE ∠B=∠C AB=DC 则△BAD≌△BAC (SAS). 即∠A=∠D 课堂小结: 1. 三角形全等的条件,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (边角边或SAS) 2. 用尺规作图：已知两边及其夹角的三角形 布置作业： 课本15页3题，4题