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武汉大学数学与统计学院重修试题答案2006-...
武汉大学数学与统计学院重修试题答案
2006 －2007 学年第二学期《线性代数 D》（工 36 ）
一、解： A =−1 ≠0, 因此矩阵A 可逆，且有
⎛1 −1 −2⎞
−1 ⎜ ⎟
A ⎜0 1 1 ⎟；
⎜⎝0 0 −1⎟⎠
故
A∗ −3A −1 A A −1 =−3A −1 (=−4)3 A −1 64
二、解：由
AB −B A2 =−E , A −E B A =−E A +E ，又 A −E ≠0, A −E 可逆, 则
( ) ( )( )
⎡2 0 1⎤ ⎛ 6 0 -3⎞
⎢ ⎥ * ⎜ ⎟
，
B A =+E ⎢0 3 0⎥ B ⎜ 0 3 0 ⎟.
⎢⎣1 0 2⎥⎦ ⎝⎜-3 0 6 ⎠⎟
三、证：由 A ＝O 知 AT ＝O， T 有非零解，故存在BT 使 T T ，即证
A X O A B O
BA O 。
四、解 （1）方程组的系数行列式
λ 1 1
2
1 λ 1 λ 1 λ 2 ,
Δ − +
( ) ( )
1 1 λ
所以当λ≠−2 且λ≠1时，R A R A 3, 从而方程组有惟一解.
( ) ( )
（2 ）当λ=−2 时，R A 2, R A 3, 由于R A ≠R A , 方程组无解.
( ) ( ) ( ) ( )
（3 ）当λ−1时，有
⎡1 1 1 −2⎤
⎢ ⎥
A → 0 0 0 0
⎢ ⎥，
⎢⎣0 0 0 0 ⎦⎥
可见R A R A 13, 故方程组有无穷多组解： x −2 −x −x .
( ) ( ) 1 2 3
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