第3讲数列极限存在条件2009.docVIP

第3讲 数列极限极限存在的条件数列极限极限存在的条件 1. 数列极限的迫敛性，四则运算法则 数列单调有界定理数列柯西收敛准则. 教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能够较好地理解数列极限的迫敛性四则运算法则，单调有界定理并会用些性质计算具体的数列极限会用单调有界定理证明数列极限的存在性，柯西收敛准则的直观意义． 教学重点：数列极限的性质单调有界定理； 教学难点：数列极限性质的分析证明(2)数列极限性质的分析证明又是教学难点．对较好的学生，要求能够掌握这些性质的证明方法，并且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如： ，等． 作业布置 作业内容：教材 :1（4,5,6）2,4(4,6). :1（2,4），3（1,3）. 讲授内容 一、收敛数列的性质（续） 定理 (迫敛性) 设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且． 注：定理2．6不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具． 例1求 例1 求数列的极限． 解：记，这里，则有 由上式得 ，从而有. 数列是收敛于1的，故由迫敛性证得． 定理2.7(四则运算法则) 若与为收敛数列，则，，也都是收敛数列，且有， 特别当为常数时有 若再假设及，则也是收敛数列，且有. 证：设则对任给的分别存在正数与，使得 当 当 取则当时上述两不等式同时成立，从而有 1． 2． 由收敛数列的有界性定理，存在正数，对一切有.于是，当时，可得 . 由的任意性，得. 例2 求，其中，． 解： 例3 求其中. 解：若 则显然有; 若, 则，若, 则 例4 求 解： 二、数列极限存在的条件 定理2.9(单调有界定理) 在实数系中，有界的单调数列必有极限． 证：不妨设为有上界的递增数列．由确界原理，数列有上确界，记．下面证明就是的极限．事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得．的递增性，当时有．是的一个上界，故对一切都有．所以当时有 ， 即．．其中实数．证明数列收敛． 证：显然是递增的，下证有上界．事实上， ，,,.），于是由单调有界定理，收敛． 例6 证明数列收敛，并求其极限． 证：记，易见数列是递增的．现用数学归纳法来证明有上界． 显然．假设，则有，从而对一切有，即有上界． 由单调有界定理，数列有极限，记为．由于，对上式两边取极限得，即有，解得或．．存在. 证：先建立一个不等式．设，对任一正整数有, 整理后得不等式. . （1） 以代入(1)式.由于, 故有.这就证明了为递增数列. 再以代人(1)式，得.故有. 上式对一切正整数都成立,即对一切偶数有.联系到该数列的单调性，可知对一切正整数n都有，即数列有上界．于是由单调有界定理推知数列{}是收敛的. 通常用拉丁字母e代表该数列的极限，即,它是一个无理数，其前十三位数字是 .. 以e为底的对数称为自然对数，通常记 定理2.10(柯西(Cauchy)收敛准则) 数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数N，使得当时有． 这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出．柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数．或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起．另外，柯西收敛准则把定义中与的关系换成了与的关系，其好处在于无需借助数列以外的数，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其(收)敛(发)散性． 例5 证明：数列，是收敛的. 证：不妨设则有 ||= 对任给的，取，则对一切有 这就证明了此数列满足柯西条件，所以数列收敛. 《数学分析I》第3教案 1