等差数列前n项和与第n项关系.docVIP

等差数列中Sn与an间的重要关系及其应用 “设Sn、an分别是等差数列｛an｝的前n和与通项，则它们之间有如下的重要关系：Sn=（kn）an，其中k是非零实数，n是正整数。” 我们知道，等差数列｛an｝的前n和Sn、通项an分别有如下的表达式： ⑴ Sn=na1- d，其可等价变形为Sn = n2 +(a1-)n ，它是关于n的二次函数且不含常数项，一般形式是：Sn =An2+Bn，其中A、B是非零待定系数； ⑵ an = a1 +（n-1）d，其可等价变形为an =dn+（a1 -d），它是关于n的一次函数，一般形式是：an =an+b，其中a、b是非零待定系数； 通过对等差数列｛an｝前n和Sn 的一般形式Sn =An2+Bn与其通项an 的一般形式an =an+b的观察分析，不难得出Sn与an之间有这样的重要关系式：Sn=（kn）an。 Sn与an 相互关系的应用举例： 例1有两个等差数列｛an｝、｛bn｝，其前n和分别为Sn 、 Tn，并且 =,求:⑴ 的值；⑵的值 分析:由等差数列可知,其前n项和是关于n的二次函数且不含常数项；根据已知条件,两个等差数列前n项和的比的结果是关于n的一次因式,说明它们在相比的过程中约去了一个共同的因式kn，于是，我们只要将其还原，即可得到两个等差数列的前n项和，再对照等差数列前n项和的二次函数形式：Sn = n2 +(a1-)n，很快便可得到其首项、公差与通项，进而由等差数列通项公式求出数列中的任意一项。 解：===，于是我们便得到两个等差数列{a}{b}的前n项和分别是Sn =7kn+2kn, Tn =kn+3kn。设等差数列｛an｝、｛bn｝的公差分别是d、d。根据等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数且不含常数项，即Sn = n2 +(a1-)n，于是相互对照比较便得： ① =7k且a1-=2k，解之得 a=9k，d=14k，从而有a=65k；②=k 且b-=3k，解之得 b=4k，d=2k， 从而有b=12k， b=24k。 因此，== ；==。 例2 已知等差数列{a}的前项和S满足条件：S=2n+3n， 求此等差数列的通项a 解: 根据等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数且不含常数项,即Sn = n2 +(a1-)n,并结合已知条件等差数列{a}的前项和S=2n+3n立有, =2且a1-=3, 解之得 a=5，d=4，于是便得所求等差数列的通项a=4n+1. 练习: ⒈ 有两个等差数列｛an｝、｛bn｝，其前n和分别为Sn 、 Tn， 并且 =,求:⑴ 的值；⑵的值. ⒉ 已知等差数列{a}的前项和S满足条件：S=5n-2n， 求此等差数列的通项a。 2 1 每个学生都应该用的 “超级学习笔记” □小郎录题