第一讲行列式的定义逆序.docVIP

§1.1全排列及逆序数 1、二阶与三阶行列式 由二元线性方程组引入二阶行列式 利用消元法解得 的分母记作 （1）称为线性方程组的系数行列式 的分子记作= 的分子记作 若系数行列式，则二元线性方程组有唯一解 同样的，对于三元线性方程组，当系数行列式时有唯一解， 系数行列式 是分别用常数项替换系数行列式的第一列，第二列，第三列得来的。 2、排列：由1,2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级全排列(简称为排列) 按照从小到大顺序排序的排列1,2，…，n，称具有自然顺序 3、逆序：在一个排列中，如果某个较大的数排在一个较小的数前面(即不符合自然顺序)，则称这两个数（或者叫数对）构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。 一个排列的逆序数，一般记为。 4、奇偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列. 下面介绍逆序数的计算方法 不妨设个元素为1至这个自然数,并规定由小到大标准次序,设为这个自然数的一个排列,考虑元素如果比小的且排在后面的元素有个，就说这个元素的逆序数是，那么全体元素的逆序数之总和即是这个排列的逆序数. 例1、计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性. （1） 42531 （2）135…（2n-1）246…(2n) 解：（1）在排列42531中,4排在首位,逆序数为3;2的后面比2大小的数有一个,故逆序数为1;5是最大数,逆序数为2;3的后面比3小的数有1个，于是这个排列的逆序数为，因而是奇排列。 （2）同上，同理可得 因而当n=4k或n=4k+1时为偶排列；当n=4k+2或n=4k++3时为奇排列。 §1.2 n阶行列式的定义 通过三阶行列式中的正负号以及项数，可以看出，三阶行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和，其中正负号在行标按自然顺序排列时，由列标的逆序数的奇偶性决定，所有三阶行列式可写成 5、定义： 由个数构成行列的阶行列式D=，共有项 简记作.数称为行列式的元素.第一个下标是行标，第二个下标是列标。 例2、计算4阶行列式。 解：根据定义，该行列式展开式共有24项，只有一项不为零。通过分析得， 例3、计算n阶行列式 我们称上述行列式为下三角行列式，它的特点是在主对角线以上的元素全为零。相同的可以定义上三角行列式。 解：利用定义 类似的还有上三角行列式与对角行列式，其结果都是主对角线元素的乘积。 §1.3 对换 6、定义： 在排列中,将某两个数对调,其余的数不动,这种对排列的变换称为对换.将相邻两数对换,称为相邻对换（或者邻换）. 7、定理1：一个排列中的任意两数对换,排列改变奇偶性. 证明略 推论：级排列共有项，其中奇偶排列各占一半。 8、定理2：阶行列式的可写为 9、定理3：阶行列式的可写为 例6：试判断和是否都是六阶行列式的项 解：是六阶行列式的项 而不是六阶行列式的项 小结与提问: 小结:本讲介绍了二、三阶行列式的计算以及阶行列式的定义、逆序数、对换等概念. 提问:行列式展开式的每一项由怎样的元素构成? 课外作业: 1.(3)(4) 2. 3. 5.(2)(3)