对一道全国高中数学联赛题的思考.pdfVIP

44 中学数学　　　　　　　　 　　2003 年第 3 期 课外 对一道全国高中数学联赛题的思考 园地 441700　湖北省谷城县第三高级中学　 贺　斌 2000 年全国高中数学联合竞赛第 14 题是: 2 条件是 0 k ≤ 9k . 1 2 13 (其中 k = (b - k ) 2 - 4ac 为方程f (x ) 若函数f (x ) = - x + 在闭区间 2 2 = kx 的判别式) [a , b ] 上的最小值为 2a , 最大值为 2b, 求 证明 　 设抛物线y = f (x ) 的顶点坐标 [a , b ]. 为 T (x 0 , y 0 ) ( 以下叙述均采用定理中的记号 由于对于给定的二次函数f (x ) 和给定 ) ( ) 及此约定 . 我们依据y = f x 图像的对称轴 的正常数 k , 并不一定存在闭区间[a , b ], 使 x = x 0 与闭区间[m , n ] 的相对位置关系进行 f (x ) 在[a , b ] 上的最小值为k a , 最大值为k b, 讨论. 由此使笔者想到: 命题者是如何找到f (x ) 先讨论 a 0 时的情况. 的? 其相应闭区间的存在性是否有一般性的 ( ) ≤m n ( ) 1 若x 0 如图 1 , 则 判别法则? 当闭区间存在时, 其个数问题能否 存在此类闭区间的充要条件是直线y = 确定?事先可否对闭区间提出一些特殊要求? kx 与抛物线y = f (x ) 交于两个不同点, 且 经探索, 笔者获得了如下结论: T (x 0 , y 0 ) 位于直线y = kx 上或上方. ( ) 定理　存在闭区间[m , n ] m n , 使二 次函数f (x ) = ax 2 + bx + c 在[m , n ] 上的最 故　 k 0, 　 k 0, 2