§0-3数列与级数.docVIP

§0-3 数列与级数 1.数列和数列的极限 “有头无尾”的一串有顺序的数 称为无穷数列（简称数列），记成（*）。例如， ⑴； ⑵； ⑶； ⑷。”既表示数列本身（这时），又表示该数列的一般项或通项。在以后的讨论中，读者可根据上下文或前的说明语(如数列或一般项)加以区别。 请读者要把下面这几个概念（有界数列、无界数列、有极限的数列）区别开来： 有界数列和无界数列 称数列是有界数列，若有常数和，使 并称为它的下界，为它的上界。例如，上面的数列和。不是有界的数列，称为无界数列，例如上面的数列和。无界数列可能是无上界，或无下界，或既无上界也无下界。 有极限的数列 设有数列()。当无限变大时，能够无限制地接近一个常数，即能够无限制地接近，则称为有极限的数列或收敛数列，并称为数列的极限，记成 (简记成) 或(简记成) 为了用作推理，近代极限论中又把数列极限的定义换了一种说法（称为“”说法），即数列能够无限制地接近一个常数，是指和能够满足条件(甲): 任意给定正数，都有相对应的正整数，当时，有 读者在中学里对这种“”说法或许就没有完全弄明白，不过没有关系，你暂且可以把它放在一边。 当然，有的数列可能没有极限，例如上面指出的数列⑵⑶⑷，没有极限的数列称为发散数列。 为了使读者进一步明白关于数列极限定义的那种“无限接近”或“”说法的确切含义，我们再借助几何直观换一种说法（见图0-4）， 即 (乙)任意给定正数(不管它多么小)，数列从某项(与有关)开始，以后各项都落在区间上，即。(不管它多么小)，数列落到区间外面，最多有有限个项(不是指它的数值)。 有极限，则必有常数和，使 即“有极限的数列（收敛数列）必是有界数列”；但是“有界数列不一定有极限”！譬如上面的数列⑶。。 若数列和都有极限，则 ⑴ [和的极限等于极限的和] ⑵ [积的极限等于极限的积] 特别有 (为常数) ⑶ [商的极限等于极限的商] ⑷ 当时，有 [极限运算单调性] ，且，就有极限[夹挤规则] 根据⑸，若，而是有界数列，则应直接写成，因为 [注意，] 而不能写成 （逻辑错误！） 例1 例2 例3 证明 （为常数） 证 首先设。 令，则 （二项式公式） 于是，。 从而 ，即 因此，就有 其次，当时，，根据已证的结论和数列极限的运算规则，就有 【注】用类似的方法可以证明。的各项依次用加号“+”联结起来的式子 称为无穷级数（简称为级数）。说它是“式子”，而不说是“和”，是因为我们不能像有限代数学中那样逐项相加而得出一个数(即和)来。因此，我们要用极限法定义它的收敛性及其和。令 ， ， , ， 则部分和是一个数列。若它有极限(常数)，则称上述级数为收敛级数，并称极限(值)为上述级数的和，记成 或 例如，级数 的部分和为 因为有极限 所以该级数是收敛的，且其和是，即 在中学数学中讲了一类最重要的级数，即等比级数 其中称为公比。令 则，所以。因此，当时 若，则，从而 若，由于极限不存在，所以极限也不存在；当时 显然，极限不存在；而当时， [即数列] 显然，极限也不存在。 综合以上结论：当时，等比级数是收敛的，且 （级数的和） 而当时，等比级数是发散的(当然也就没有和)。 习题(问题)和选解 1.先把下列数列作恒等变换，再利用极限运算规则求出极限： ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹。 答案：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹。 2.设有数列。若有，证明：。 证 任意给定正数，因为，根据数列极限的条件（丙），所以数列和在区间外面都只有有限个项，而数列的每一项或者在数列中，或者在数列中，因此数列在区间外面也只有有限个项。再根据数列极限的条件（丙），则有极限。 3.设数列，即 为什么说它没有极限？【提示：根据条件(丙)说明和任意都不是它的极限。】 答 因为区间 外面有数列的无限多个项， 而区间 外面有数列的无限多个项， 根据数列极限的条件(乙)，所以和任何实数都不是这个数列的极限，即这个数列没有极限。 【注】根据同样的道理，数列 没有极限。 4.举例说明：若数列与都没有极限，而数列与都可能会有极限。 提示：考虑数列 5.设数列有极限（即收敛），而数列没有极限（即发散）。你对数列与是否有极限可以做出什么结论？ 答 数列必定没有极限。 (反证法)假若数列()有极限，根据极限的运算规则，数列就会有极限，这与数列没有极限的假设矛盾。 数列可能有极限，例如时；数列也可能没有极限，例如时。 6．设，证明：。当然是等价的] 证 根据二项式公式，当时，有 于是有 因此， 。 7.证明：。 证 令，则当时， （二项式公式） 因此有，即。于是，就有 8.研究下列级数的收敛性（若收