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§7.3 数列的综合应用 课前热身 1．已知数列的前项和满足:,且,那么 ( ) A．1 B． C． D．是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的 A．B．C．D．的首项为， 为等差数列且 .若，，则 A． B． C． D．的通项公式为，则实数的取值范围是　 　． 5．数列满足，，，则　 　． 知识梳理 1．一般通项公式的求法 （1）归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式的方法叫归纳法． （2）累加法：利用恒等式求通项公式的方法叫累加法．累 加法是求形如（知差求和）的递推数列通项公式的基本方法． （3）累乘法：利用恒等式求通项公式的方法叫累乘法．累乘法是求 （知商求积）的递推数列通项公式的基本方法． 2．与的关系： 3．数列与其它知识的综合应用 ●典例剖析 考点1 一般通项公式的求法 【例1】（1）数列：，，，，…的一个通项公式是（ ） A． B． C． D． 点评：归纳法求数列通项公式是，需仔细观察分析数列的前几项，主要是从以下几方面入手：①分式中分子分母的特征；②相邻项的变化特征；③数列的项分成可变的部分和不变的部分；④各项的符号特征． （2）已知数列满足，（），则 ． （3）已知数列满足，，则的最小值为 ． 对应练习 （1）数列，，，，… 的一个通项公式是 ． （2）已知，，，，，是首项为1，公比为2的等比数列，则数列的第100项是（ ） A． B． C． D． （3）已知二次函数的图象过点，且，． （Ⅰ）若数列满足，且，求数列的通项公式； （Ⅱ）记，数列的前项和为，求证：． 考点2 公式的应用 【例3】（1）已知数列前项和，则 ． 点评：在利用公式求数列的通项公式时，务必注意以下问题：当时，若也适合，则数列的通项公式需统一“合写”； 当时，若不适合，则数列的通项公式应分段表示，即“分写” ． （2）已知数列的前项和为，首项为，且1，，成等差数列. （Ⅰ）求数列的通项公式；w. （Ⅱ）设为数列的前项和，若对于，总有成立，其中，求的最小值. 点评：已知与的关系求通项时，可由公式转化只含或的等式，，进而通过进一步运算，构造基本数列（等差或等比）求通项． （3）数列中，，当时，其前项和为满足． （Ⅰ）求证：数列是等差数列； （Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数． 点评：①形如“（，为常数）”的递推公式，可同时除以将其转化为一个等差数列；②数列求和问题关键在于从数列的通顶公式入手，分析通顶公式的结构特征． 对应练习 （1）正项数列的前项和为，且，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和为． （2）已知点是函数的图像上一点．等比数列的前项和为．数列（）的首项为，且前项和满足（）． （Ⅰ）求数列和的通项公式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）若数列的前项和为，问满足＞的最小正整数是多少？ 考点3 数列与其它知识的综合应用 【例3】（（1）设是等比数列，公比，为的前项和．记设为数列的最大项，则= ． （2）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列. 证明：为等比数列； ，，求数列的前项和 对应练习 （1）如图，，，… ，，…顺次为函数（）图象上的点，，，… ，，…顺次为轴上的点，且，，… ，，…均为等腰直角三角形（其中为直角顶点），设的坐标为，，则数列的通项公式 ． （2）已知数列中，，，是函数（）的一个极值点． （Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）设，，求证：． 高三数学（理科）第一轮复习资料 4 用心 爱心 专心