正弦定理和余弦定理.docVIP

高考风向　1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领　1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 基础知识梳理 1． 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 3． S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. 4． 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Aab a≥b ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 [难点正本　疑点清源] 1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，ABab?sin Asin B；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosAsinB,cosAsinC· 2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 中，，，，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边. 解析：， ∴， ∴ ， 又， ∴． 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 【变式1】在中，已知，，，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，； 根据正弦定理，； 根据正弦定理， 【变式2】在中，已知，，，求、. 【答案】， 根据正弦定理，∴. 【变式3】在中，已知，求 【答案】根据正弦定理，得. 例2．在，求：和，． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边. 解析：由正弦定理得：， ∴， （方法一）∵， ∴或， 当时，，（舍去）； 当时，，∴． （方法二）∵，， ∴， ∴即为锐角， ∴， ∴． 总结升华： 1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。 2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角. 3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 类型二：余弦定理的应用： 例3．已知中，、、，求中的最大角。 思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解. 解析：∵三边中最大，∴其所对角最大， 根据余弦定理：， ∵ ， ∴ 故中的最大角是. 总结升华： 1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理； 2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系. 举一反三： 【变式1】已知中, , , 求角. 【答案】根据余弦定理：， ∵， ∴ 【变式2】在中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小． 【答案】设，，， 根据余弦定理得：， ∵，∴； 同理可得； ∴ 【变式3】在中，若，求角. 【答案】∵， ∴ ∵， ∴ 类型三：正、余弦定理的综合应用 例4．在中，已知，，，求及. 思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦定理或正弦定理求角. 解析： ⑴由余弦定理得： = = = ∴ ⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： （法一：余弦定理） ∵， ∴ （法二：正弦定理） ∵ 又∵， ∴＜，即＜＜ ∴ 总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好. 举一反三： 【变式1】在中，已知, , .求和. 【答案】由余弦定理得：， ∴ 由正弦定理得：， 因为为钝角，则为锐角， ∴. ∴. 【变式2】在中，已知角所对的三边长分别为，若，，，求角和 【答案】根据余弦定理可得： ∵， ∴ ； ∴由正弦定理得：. 其他应用题详解