解排列组合应用题的常用策略.pdfVIP

维普资讯 中学数 学研 究 20o5年第 12期 解排列组合应用题的常用策略 天津师范大学数学科学学院 (300450) 戴 永 排列组合应用题是高中数学教材的难点之 分析 这是一道排列与组合的混合 问题， 一 ， 许多学生常常由于缺乏解题策略，造成解题 对于排列与组合的混合问题，可采取先选 出元 错误或解题困难，针对此问题，下面介绍解排列 素，后进行排列的策略，即采取先选后排法． 组合应用题的常用策略． 因恰有一个空盒，所 以必有一．个盒子要放 1．分类分析与分步分析的策略 2个球，故可分两步进行：第一步先选球，从4 我们知道，运用两个计数原理即加法原理 个球中任选2个球，有 c；种不同的选法；第二 和乘法原理的关键是对问题进行合理分类与准 步再把取出的两个小球与另外两个小球看做三 确分步．分类的要求是不重复不遗漏，类与类之 堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子里，有 间彼此独立，相互并列；分步的要求是各步之间 Pi种不同的放法，根据乘法原理，共有clP：= 连续不断，好比接力赛，一棒接一棒． 144种不同的放法． 例1 从 1，2，3，…，l0这十个数字中取出 3．元素分析与位置分析的策略 四个数，使它们的和为奇数，共有 种取 从n个不同的元素中选取m(m≤n)个元 法． 素的排列，可比作 n个元素去占m个 “座位”， 分析 由本题 “四个数字之和为奇数”的条 7／1,个 “座位”是一定要被m个元素坐满的，但 n 件，分析可知符合条件的取法有两类：一类是 个元素不一定都能找到自己的“座位”，前者简 “ 一 奇三偶”，另一类是 “三奇一偶”，根据加法原 称为 “元素”分析法，后者简称为 位“置”分析法． 理，得取法种数为c；c；+c{c；=100． 一 般来说，从限制条件较强的特殊元素或特殊 例2 5张卡片的正反面分别写着0与1、2 位置入手，本着特殊者优先考虑的原则，是思维 与3,4与5,6与7、8与9，将其中任意三张并排 角度选择所必须遵循的． 放在一起组成三位数，共组成多少个不同的三 例4 用 1、2、3、4、5这五个数字，可以组成 位数? 比20000大，并且百位数字不是3的没有重复 分析 5张卡片上的l0个数中除0外的9 数字的五位数共有( )个． 个选一个放在首位有 种；剩余4张卡片上的 (A)96 (B)78 (C)72 (0)64 8个数字中选一个放在十位有 c；种；余下的3 分析 本题的1和 3可视为特殊元素，万 张卡片上的6个数字选一个放在个位有 种， 位和百位可视为特殊位置． 根据乘法原理，共有c5c5c：=432个． 若以元素为主考虑，先安排特殊元素 1和 2．有序分析与无序分析的策略 3，可分三类： 解答排列组合应用题时，宜先分析所给问 (1)1和 3都排在千位、十位、个位上，有 题是排列问题还是组合问题，或者是排列组合 P；P；个； 混合问题，以便正确做出解答． (2)1和 3只有一个数字排在千位、十位、 例3 4个不同小球放入编号为1、2、3、4 个位上，有cle~e；个； 的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有 (3)1和3都不排在千位、十位、个位上，此 种．(1995年全国高考题) 时3必须排在万位上，而 1只能排在百位上，有 · 38 ·