1-4行列式按行(列)展开.pptVIP

中值定理与导数的应用 上次课复习 * 一、行列式的性质及其推论 性质1 行列式转置，其值不变. 根据性质1，行所具有的性质列也同样具有. 交换行列式的两行 ，其值变号. （列） 性质2 推论 如果行列式中有两行（列）对应元素相同，则此行列式为零. 性质3 用数 乘以行列式的某一行（列），等于用数 乘此行列式. 即 推论 如果行列式有两行（列）对应元素成比例， 则行列式的值为0. 性质4 如果行列式D的某行（列）每个元素都是两个数之和，则这个行列式可以写成两个行列式之和，这两个行列式分别以这两个数为对应位置上的元素，其余元素均与D相同. 即 推广： 性质5　将行列式的某一行（列）的每个元素都乘以同一常数后加到另一行 (列)对应的元素上去，行列式的值不变． 即 1.若行列式第一列第一个元素为零，先把第一行（列）与其他某一行（列）交换，使第一列第一个元素不为零；若第一列第一个元素非零，则直接到下一步。 2.将第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零。 3.用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式。 4.依次下去，直至使它成为上三角形行列式。这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。 把一般行列式化成上三角形行列式的一般步骤： 例如 计算 解： =8 把一般行列式化成上三角形行列式的一般步骤： §1.4 行列式按行(列)展开 一. 展开定理 二. 利用展开定理计算行列式 三. 展开定理的推论 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来简化计算. 那么对于一个一般的n 阶行列式，它能不能转化成一些n-1 阶行列式来计算呢？ 一. 展开定理 定义 在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 i 行和 第 j 列划去后， 的余子式.记为 称 为元素 的代数余子式. 例如： 1.余子式与代数余子式 余下的 n－1 阶行列式叫做元素 行列式 第一行各元素的代数余子式 分别为： 行列式D等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 定理 2.行列式按行（列）展开定理 例如： 按第一行展开 按第二行展开 在行列式的某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理可以简化运算； 若每一行或列含有的零都不多，则可先使用性质使得某一行或列含有较多的零，然后再展开.如： （降阶法） 例1 二. 利用展开定理计算行列式 例2 计算四阶 解 范德蒙行列式 因此四阶范德蒙行列式的值为 推广：n阶范德蒙行列式的值为 例3 求证 左边= =右边 证： 推广： 例4 s行 D的第i行元素与第s行对应元素代数余子式乘积之和为 三. 展开定理的推论 i行 展开定理及其推论可统一写成以下形式： 推论：行列式D中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零 小结 1.余子式与代数余子式 定义 在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 i 行和 第 j 列划去后， 的余子式.记为 余下的 n－1 阶行列式叫做元素 称 为元素 的代数余子式. 行列式D等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 定理 2.行列式按行（列）展开定理 3.利用展开定理计算行列式 在行列式的某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理可以简化运算； 若每一行或列含有的零都不多，则可先用性质使得某一行或列含有较多的零，然后再展开. 4.n阶范德蒙行列式的值为 * *