1.3.2等比数列的前n项和课件(2013-2014年北师大版必修五).pptVIP

课前探究学习 课堂讲练互动 理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程． 能应用前n项和公式解决等比数列有关问题． 3.2 等比数列的前n项和 【课标要求】 【核心扫描】 等比数列前n项和公式及运用．(重点) 错位相减法求数列的和．(重点、难点)  1． 2． 1． 2． 等比数列的前n项和公式 自学导引 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 选用 公式 1． 等比数列前n项和的性质 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q. 若共有2n项，则S偶∶S奇＝q； (2)数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍构成等比数列，其公比为qn(q≠－1)． (3)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qn·Sm. 想一想：若一个数列是等比数列，它的前n项和写成Sn＝Aqn＋B(q≠1)，则A与B有何关系？ 2. (2)错位相减法适合求数列{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的前n项和． (3)利用错位相减法求和的步骤 ①作和：Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn ②乘公比：qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1 ③相减：(1－q)Sn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1 ④化简：把相减后所得结果进行化简 名师点睛 函数观点下的等比数列前n项和公式 (1)若数列{an}是非常数列的等比数列，则其前n项和公式为：Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋)． (3)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是函数y＝－Aqx＋A图像上一群孤立的点； 当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是正比例函数y＝a1x图像上一群孤立的点．  2． 题型一　等比数列前n项和公式的应用 [思路探索] 先判定公比q是否能等于1，然后直接用a1和q表示S3，S6，列方程组求解． 【例1】 规律方法　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求n和q. 【训练1】 在等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，求S30. [思路探索] 本题解题的基本方法是用方程思想列式求解，还可用等比数列前n项和的性质求解． 解　法一　设公比为q，∵S10＝10，S20＝30≠20， 【例2】 题型二　等比数列前n项和性质的应用 法二　∵S10＝a1＋a2＋…＋a10， S20－S10＝a11＋a12＋…＋a20＝a1q10＋a2q10＋…＋a10q10 ＝q10S10. S30－S20＝a21＋a22＋…＋a30＝a1q20＋a2q20＋…＋a10q20 ＝q20S10. ∴S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，公比为q10. ∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，∵S10＝10，S20＝30. ∴(30－10)2＝10(S30－30)，∴S30＝70. 规律方法　等比数列前n项和有关的性质应用 (1)等比数列{an}的前n项和Sn，满足Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)，这一性质可直接应用． 已知数列{an}是等比数列， (1)若Sn＝49，S2n＝112，求S3n； (2)若S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20. 解　(1)由性质1可得Sn(S3n－S2n)＝(S2n－Sn)2， ∴49(S3n－112)＝632，解得S3n＝193. (2)∵S4，S8－S4，S12－S8，…构成等比数列， 【训练2】 (本题满分12分)求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn. 审题指导 一般地，若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法． 【解题流程】 【例3】 题型三　用错位相减法求数列的和 (3)当x≠0且x≠1时， Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn① xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1② ①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1 求数列{(2n－1)an－1}(a≠0)的前n项和． 解　当a＝1时，数列变成1,3,5,7，…，(2n－1)，… 【训练3】 当